ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Lunules d'Hippocrate        niveau 4ème       Voir aussi : Aire d'une lunule

On se propose ici de prouver que l'aire de la lunule (portion de plan limitée par deux arcs de cercle de rayons distincts, ci-dessous marquée d'un point d'interrogation) est égale à l'aire du triangle OAB. Ou, ce qui revient au même, de prouver que :

l'aire du carré ABCD est égale à la somme des aires des quatre lunules.

Rappelons que la possibilité du calcul exact, sans usage du nombre π, de l'aire délimitée par deux cercles fut à l'origine des tentatives effrénées, durant des siècles, de la quadrature du cercle : construction, au sens euclidien, d'un carré de même aire qu'un cercle donné. On sait, depuis Wantzel (1837) qu'une telle construction est impossible.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Notons c le côté du carré. Par application du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle isocèle AOB, la diagonale du carré a pour mesure c2. Ainsi la demi-diagonale OA mesure c2/2.

L'aire de la lunule supérieure (marquée d'un point d'interrogation) est égale à l'aire A1 du demi-cercle de diamètre [AB] diminuée de l'aire A2 de la calotte hachurée.

L'aire A2 est la différence entre l'aire d'un quart de cercle de rayon c2/2 et l'aire du triangle AOB :

En conséquence : l'aire cherchée de notre lunule est l'aire du triangle rectangle AOB. D'où le résultat :

la somme des aires des quatre lunules est égale à l'aire du carré


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