ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Papyrus de Moscou  également appelé  papyrus de Golenischev     Volume du tronc de pyramide

On appelle ainsi le papyrus égyptien découvert en 1893 par l'égyptologue russe V.S. Golenischev. Il est conservé au Musée des Beaux Arts de Moscou (Pushkin State Museum of Fine Arts).

Rédigé en écriture hiéroglyphique, très riche d'informations sur les mathématiques de l'Égypte ancienne, le papyrus de Golenischev est plus vieux que le papyrus Rhind : vers 1850 avant J.-C.

 Illustration empruntée au site UVic de l'université de Victoria (Canada)

On y trouve de nombreux problèmes relatifs à la résolution de problèmes algébriques semblables à ceux du papyrus Rhind mais il est, sur le plan géométrique, plus intéressant : on y découvre par exemple, donc bien avant Archimède, l'aire d'une demi-sphère, un sujet très difficile pour l'époque !

Volume de la sphère (et de la pyramide) :  »

Tout à fait remarquable également, le calcul du volume du tronc de pyramide de base carrée :

  
∗∗∗
Volume du tronc de pyramide :     

On considère une pyramide de base carrée a. On la tronque à la hauteur h; la section est alors un carré de côté b. On demande de calculer le volume du tronc de pyramide en fonction de a, b et h.

Indications : Procéder par différence entre le volume de la pyramide entière et le volume de la pyramide supérieure rejetée pour obtenir le prisme. En solution, vous aurez aussi la formule générale...

 ➔  Pour en savoir plus :

• Le site de Scott W. Williams, université de Buffalo, U.S.A.
  http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html :
  problèmes 10, 14, 56 à 60 et papyrus Rhind

• Papyrus de Moscou & papyrus Rhind  (université de Victoria, Canada) :
  http://www.math.uvic.ca/courses/math415/Math415Web/egypt/moscow.html

• Pages de Todd Hammond  sur le site Math and computer Science Division :
  http://math.truman.edu/~thammond/history/MoscowPapyrus.html

 Le volume du tronc de pyramide s'obtient par différence en tant que volume de la pyramide de hauteur H privée du volume de la pyramide supérieure de hauteur H - h :

Selon la propriété de Thalès, nous pouvons affirmer : H/(H - h) = a/b, soit :

Ainsi :

Mais on sait, ou on vérifiera facilement, que a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). En conclusion :

---

♦ Cas général :

Par des considérations analogues, lorsque la grande base est un polygone quelconque d'aire S et la petite base (homothétique) d'aire s, le rapport s/S des aires est le carré du rapport des hauteurs (H - h)/H :

                       ∗∗∗  Volume d'une hotte

Le volume cherché est V = (S x H - s x h)/3. On élimine H grâce à la formule ci-dessus et on obtient :

On retrouve une forme simplifiable (a³ - b³)/(a - b) = a² + ab + b², et on peut donc conclure :