ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Pentagone régulier selon Dürer 

Le peintre et graveur allemand Albrecht Dürer nous a légué une belle construction du pentagone régulier au moyen de 5 cercles de même rayon AB, AB désignant le premier côté tracé. Facile à réaliser, on démontre ensuite qu'elle est seulement presque juste...

 vers la construction exacte d'Euclide

Programme de construction :

pour éviter de se perdre dans les nombreux cercles de la figure, une écriture comme Cm indique un cercle de centre M...

  1. Tracer un segment [AB] quelconque "horizontal";
  2. Tracer le cercle (Ca) de centre A passant par B;
  3. Tracer le cercle (Cb) de centre B passant par A;
  4. Les cercles (Ca) et (Cb) se coupent en F et G ; on placera G "au-dessous" de [AB];
  5. Tracer le cercle (Cg) de centre G passant par A ; il passe aussi par B;
  6. Le cercle (Cg) coupe les deux précédents en I et J  symétriquement par rapport à (FG);
  7. Le cercle (Cg) coupe (FG) en K;
  8. La droite (JK) coupe (Ca) en E à l'extérieur de (Cb);
  9. La droite (IK) coupe (Cb) en C à l'extérieur de (Ca);
  10. Tracer le cercle (Ce) de centre E passant par A;
  11. Tracer le cercle (Cc) de centre C passant par B;
  12. Ces cercles se coupent en D pour former un pentagone convexe ABCD.

Étude :

Il est clair, par construction, que les côtés de ce pentagone ont tous la même mesure. Il est aussi clair, par symétrie que ^AED = ^BCD et que ^EAB = ^ABC. Intéressons-nous à l'angle ^EAB dans le triangle EAL où L est l'intersection de (AB) avec (EJ).

On calcule la mesure de [HL] en remarquant qu'il est le côté d'un triangle rectangle isocèle HKL, H étant le milieu de [AB] que nous supposons mesurer 1 (AB est donc pris comme unité). I, G et J sont alignés, G est le milieu de [IJ]. (DG) est l'axe de symétrie de la figure.

Dans un pentagone, décomposable en trois triangles, la somme des angles est de 540° (3 fois 180°). Par suite, dans le cas régulier, nous devrions obtenir 108° exactement !

Sur le plan esthétique, cette erreur passe inaperçue ! La précision est remarquable puisque, en termes d'erreur relative, elle est égale à 0,0034... : inférieure à 4/1000.


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