ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Pentagone régulier selon Dürer

Le peintre et graveur allemand Albrecht Dürer nous a légué une belle construction du pentagone régulier au moyen de 5 cercles de même rayon AB, AB désignant le premier côté tracé. Facile à réaliser, on démontre ensuite qu'elle est seulement presque juste...

 ➔   pour éviter de se perdre dans les nombreux cercles de la figure, une écriture comme C_m indique un cercle de centre M...

1. Tracer un segment [AB] quelconque "horizontal";
2. Tracer le cercle (C_a) de centre A passant par B;
3. Tracer le cercle (C_b) de centre B passant par A;
4. Les cercles (C_a) et (C_b) se coupent en F et G ; on placera G "au-dessous" de [AB];
5. Tracer le cercle (C_g) de centre G passant par A ; il passe aussi par B;
6. Le cercle (C_g) coupe les deux précédents en I et J  symétriquement par rapport à (FG);
7. Le cercle (C_g) coupe (FG) en K;
8. La droite (JK) coupe (C_a) en E à l'extérieur de (C_b);
9. La droite (IK) coupe (C_b) en C à l'extérieur de (C_a);
10. Tracer le cercle (C_e) de centre E passant par A;
11. Tracer le cercle (C_c) de centre C passant par B;
12. Ces cercles se coupent en D pour former un pentagone convexe ABCD.

Il est clair, par construction, que les côtés de ce pentagone ont tous la même mesure. Il est aussi clair, par symétrie que ^AED = ^BCD et que ^EAB = ^ABC. Intéressons-nous à l'angle ^EAB dans le triangle EAL où L est l'intersection de (AB) avec (EJ).

On calcule la mesure de [HL] en remarquant qu'il est le côté d'un triangle rectangle isocèle HKL, H étant le milieu de [AB] que nous supposons mesurer 1 (AB est donc pris comme unité). I, G et J sont alignés, G est le milieu de [IJ]. (DG) est l'axe de symétrie de la figure.

• HL = KH = GK - GH = 1 - √3/2  car GH est la hauteur dans le triangle équilatéral GAB
• AL = AH + HL = 1/2 + (1 - √3/2) = (3 - √3)/2
• Dans EAL, ^ELA = 45°
• Dans EAL, sin ^E / AL = sin ^L / EA; soit : sin ^E = (3√2 - √6)/4
• Une calculatrice fournit ^E ≅ 108,37°

Dans un pentagone, décomposable en trois triangles, la somme des angles est de 540° (3 fois 180°). Par suite, dans le cas régulier, nous devrions obtenir 108° exactement !

 ➔   Sur le plan esthétique, cette erreur passe inaperçue ! La précision est remarquable puisque, en termes d'erreur relative, elle est égale à 0,0034... : inférieure à 4/1000.