ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

A - 2π/5 est la mesure en radians de l'angle au centre interceptant un côté du pentagone régulier. Elle correspond à 72°. On se propose ici de calculer algébriquement (sans le concours géométrique comme utilisé sur la page consacrée au décagone régulier) les valeurs exactes de cos(2π/5) et sin(2π/5). On en déduira les valeurs exactes des lignes trigonométriques de 2π/10 = π/5 (36°) correspondant au décagone régulier et la construction de ce dernier.

1°/ Montrer que les angles de mesures 2π/5 et 8π/5 ont même cosinus et des sinus opposés.

2°/ En remarquant que cos4x = cos(2 × 2x), montrer que :

cos4x = 8cos⁴x - 8cos²x + 1      (e1)

3°/ On pose X = cos(2π/5), montrer que X est solution de l'équation du 4è degré :

8X⁴ - 8X² - X + 1 = 0      (e2)

4°/ Au vu de la représentation graphique ci-dessus de la fonction x → 8x⁴ - 8x² - x + 1, vérifiez que l'équation 8X⁴ - 8X² - X + 1 = 0 admet quatre solutions dont x = 1 et x = -1/2 permettant d'écrire :

8X⁴ - 8X² - X + 1 = (X - 1)(2X + 1)(4X² + aX + b)

où a et b sont à déterminer. (Rép. : a = 2, b = - 1)

4°/ a) Déduire des résultats précédents :

B - Retour à la géométrie, l'objectif est de construire à la règle et au compas un angle de 72° afin de construire le pentagone régulier, construction exposée sur la page consacrée au pentagramme :

Dans un repère orthonormé (O,x,y) du plan, on trace le cercle trigonométrique (centre O, rayon 1).

1. Placer A(1,0) et B(0,2)    //  AB = √5;

2. Le cercle de centre A passant par B coupe [OA) en C.   //  OC = OA + AC = 1 + √5;

3. Construire J milieu de [OC] puis M milieu de de [OJ]    //  OJ = JC = (1 + √5)/2, OM = cos(π/5);

4. La perpendiculaire en M à [OA) coupe le cercle trigonométrique en D et E    //  ^AOE =  ^AOD = π/5.

En conclusion ED est la mesure du côté du pentagone régulier inscrit dans le cercle unité. EA est celui du décagone régulier.

 Le décagone régulier sera obtenu au moyen des intersections du cercle de centre O
avec les médiatrices des côtés du pentagone.