ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une fonction définie par une intégrale #2    niveau Sup      » dérivation sous le signe somme | #1 | Logarithme intégral

On considère la fonction numérique définie pour tout x réel par :

1) Justifier brièvement l'existence de f pour tout réel x. Donner l'expression de sa fonction dérivée f'.

2) Justifier que f est une fonction impaire strictement croissante.

 !  Une fonction dont la dérivée est paire n'est pas nécessairement impaire, on doit rajouter la condition f(0) = 0, ce qui est ici le cas. En effet, si f' est paire, on aura pour tout x : f'(-x) = f'(x). Donc, en intégrant, -f(-x) = f(x) + C et si f(0) = 0, alors C = 0 et f est impaire.

On restreint maintenant l'étude de f à l'intervalle [0,+∞[.

3a) Montrer que pour tout x de R⁺, on a e^x > 1 + x. En déduire que l'on a f(x) < π/2 pour tout x de R⁺.

3b) Que peut-on dire de la courbe représentative de f au voisinage de + ∞ ? (attention : question piège...).

4) On admet le résultat ci-dessous (» intégrale de Gauss) :

Déduire de ce résultat la limite à l'infini de la fonction f.

5) On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

a) Préciser la tangente à (C) à l'origine du repère et justifier que (C) reste "en dessous" de cette tangente.
b) On se propose maintenant de donner l'allure de la courbe (C) représentative de f. Pour cela on fera appel à la méthode des différences finies pour la résolution approchée d'une équation différentielle du 1er ordre. Mais quelle est cette équation différentielle ?

1) La fonction φ : t → e^-t² est continue sur R en tant que composée de deux telles fonctions t → -t² et t → e^t, elle est donc intégrable sur tout intervalle [0,x] de R.

La fonction f est la primitive nulle en 0 de φ. Elle est donc dérivable sur R et, par définition, f'(x) = φ(x) = e^-x².

f est donc une fonction impaire de x. f'(x) = = e^-x² > 0 pour tout réel x; f est donc strictement croissante.

On restreint maintenant l'étude de f à l'intervalle [0,+∞[.

3a) Pour tout x de R⁺, on a e^x = 1 + x + x²/!2 + x³/3! + ... + xⁿ/n! > 1 + x  (» Maclaurin)

On déduit de cette minoration la majoration e^-x = 1/e^x < 1/(1 + x); par suite e^-t² < 1/(1 + t²).

t → 1/(1 + t²) est la fonction dérivée de la fonction arc tangente; on en déduit f(x) < atn(x) - atn(0) = atn(x); la fonction atn admet la droite d'équation y = π/2 comme asymptote horizontale au voisinage de +∞. On a donc f(x) < π/2 pour tout x de R⁺.

3b) Selon la question précédente, f est bornée; ce qui ne signifie nullement qu'elle admet une limite à l'infini (considérer, par exemple, la fonction sinus). Sur R⁺, la fonction f est strictement croissante et bornée. Le fait d'avoir f(x) < π/2 pour tout x de R⁺ ne signifie pas que sa limite est π/2. Ce nombre n'est qu'un majorant de f(x). Mais, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, l'ensemble de ses valeurs admet une borne supérieure λ ≤ π/2. C'est dire que la droite d'équation y = λ est asymptote horizontale à la courbe représentative de f au voisinage de + ∞. La question suivante conduit au calcul de λ :

4) On sait que            (» intégrale de Gauss)

Dans l'intégrale ci-dessus, posons X = t/√2; on a dt = √2.dX. Par suite :

L'intégrale du second membre est la limite en +∞ de f; donc :

5a) f(0) = 0 et f'(0) =  e^o = 1, f(0) = 0. L'équation de la tangente à l'origine est donc y = x. De plus f''(x) = -2xe^-x². La fonction dérivée seconde est nulle en 0 et strictement négative sur ]0,+∞[ : (C) est concave sur cet intervalle, donc "sous" sa tangente en O qui est un point d'inflexion pour (C).

5b) L'équation différentielle est tout simplement y' = e^-x², dont on donne ci-dessous une solution discrète y_i = f(x_i) sur l'intervalle [0,3]par la méthode des différences finies en choisissant 24 points de l'intervalle régulièrement espacés de x = 0 à x = 3. Le pas est alors de 0,125.

Le graphique a été obtenu par Graphmatica. La fonction dérivée est tracée en vert. La partie "négative" de (C) est le fruit d'une symétrie par rapport à O par usage de la capture d'écran et d'un copier/coller dans Paint en mode transparent.