ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Une application de la notion d'angle inscrit     niveau 3ème

On a tracé ci-dessous un triangle ABC rectangle en A et construit, à l'extérieur du triangle, le carré BCDE de centre O.

a) Dessine cette figure avec soin.

b) Prouve que la demi-droite [AO) est la bissectrice intérieure de l'angle ^BAC.

Voici la même figure générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Tu peux agrandir/réduire la figure en  déplaçant les sommets du triangle ABC

Traçons les diagonales du carré BCDE. O est leur point d'intersection. Ces diagonales sont égales, se coupent en leur milieu et à angle droit. Donc O appartient au cercle de diamètre [BC]. Tout comme A puisque BAC est rectangle en A.

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Tu peux agrandir/réduire la figure en  déplaçant les sommets du triangle ABC

Les quatre points B, A, C et O sont donc sur le même cercle de diamètre [BC].
Vu que OC = OB et ^BOC = 90°, il apparaît que ^OCB = ^OBC = 45°.
L'angle ^CAO est inscrit et intercepte l'arc CO, tout comme  l'angle  inscrit^OBC, donc ^CAO = 45°.

De même,  l'angle ^BAO est inscrit et intercepte l'arc BO, tout comme l'angle  inscrit ^OCB
Donc ^BAO = 45°.

Finalement, ^BAO = ^CAO = 45° : [CO) est la bissectrice intérieure de l'angle droit ^BAC.