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Résolution d'une équation différentielle homogène  #2     niveau Sup
 
    
Autre cas #1    

On suppose connues les notions d'équation différentielle homogène et d'équation différentielle à variables séparables. Dans le cas contraire se reporter au premier exercice signalé ci-dessus.

1°) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :

2°) Résoudre l'équation différentielle et préciser la nature des courbes intégrales :

(e)       

on posera t = y/x et on se ramènera à une équation différentielle à variables séparables.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 
© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°) On décompose aisément la fonction φ en éléments simples en remarquant que t + t3 = t(1+ t2) et que 1+ t2 n'admet pas de racines réelles, d'où la forme :

Par identification, on trouve a = 1, b = -2 et c = 0 :

2°) On doit poser la condition y ± x. Le second membre est une fraction rationnelle en x et y dont les numérateur et dénominateur sont homogènes de degré 2. Posons y = tx. On a dy = t.dx + x.dt, ce qui ramène l'équation à x.dt/dx = 2t/(1 - t2) - t , t ± 1, soit à :

 ,   x 0, t 0

Il s'agit donc une équation homogène ramenée à la résolution d'une équation à variables séparables. Vu 1°, on obtient alors :

 ln | x | = ln | t | - ln (t2 + 1) + ln | k |, avec k R*

on a fait passer la constante d'intégration dans un log pour simplifier l'écriture de la solution : loisible, car pour k arbitraire non nul, ln | k | décrit R tout entier. Donc :

ln | x | = ln[ | kt |/(t2 + 1)], k arbitraire

C'est dire que x2 + y2 = ay, avec a = ± k, donc a arbitraire. En définitive, la solution générale est l'ensemble des courbes d'équation :

 (c)    x2 + y2 - ay = 0

privé des points appartenant aux bissectrices du repère (d'équations y = ± x).

On peut écrire :

x2 + (y - a/2)2 = a2/4

Il s'agit d'une famille de cercles centrés en ω(0;a/2), de rayon a/2, a non nul :

Ci-dessous : quelques courbes intégrales obtenues en faisant varier | a | entre 1 et 4.
Les petits "ronds" indiquent les points exclus.

Discussion :   


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