Résolution d'une équation
différentielle homogène #2
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On suppose connues les notions d'équation différentielle homogène et d'équation différentielle à variables séparables. Dans le cas contraire se reporter au premier exercice signalé ci-dessus.
1°) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
2°) Résoudre l'équation différentielle et préciser la nature des courbes intégrales :
(e)
» on posera t = y/x et on se ramènera à une équation différentielle à variables séparables.
Solution : |
1°) On décompose aisément la fonction φ en éléments simples en remarquant que t + t3 = t(1+ t2) et que 1+ t2 n'admet pas de racines réelles, d'où la forme :
Par identification, on trouve a = 1, b = -2 et c = 0 :
2°) On doit poser la condition y ≠ ± x. Le second membre est une fraction rationnelle en x et y dont les numérateur et dénominateur sont homogènes de degré 2. Posons y = tx. On a dy = t.dx + x.dt, ce qui ramène l'équation à x.dt/dx = 2t/(1 - t2) - t , t ≠ ± 1, soit à :
, x ≠ 0, t ≠ 0
Il s'agit donc une équation homogène ramenée à la résolution d'une équation à variables séparables. Vu 1°, on obtient alors :
ln | x | = ln | t | - ln (t2 + 1) + ln | k |, avec k∈ R*
on a fait passer la constante d'intégration dans un log pour simplifier l'écriture de la solution : loisible, car pour k arbitraire non nul, ln | k | décrit R tout entier. Donc :
ln | x | = ln[ | kt |/(t2 + 1)], k arbitraire
C'est dire que x2 + y2 = ay, avec a = ± k, donc a arbitraire. En définitive, la solution générale est l'ensemble des courbes d'équation :
(c) x2 + y2 - ay = 0
privé des points appartenant aux bissectrices du repère (d'équations y = ± x).
On peut écrire :
x2 + (y - a/2)2 = a2/4
Il s'agit d'une famille de cercles centrés en ω(0;a/2), de rayon a/2, a non nul :
Ci-dessous :
quelques courbes intégrales obtenues en faisant varier | a | entre 1 et 4.
Les petits "ronds" indiquent les points exclus.
Discussion :
Les conditions rencontrées privent ces cercles de l'origine et
des points x = ± y avec
2y2 - ay = 0, soit (x,y)
≠ (± a/2,± a/2).
Pour x non nul, t = 0 équivaut à y = 0 : pas plus de restriction, O étant déjà exclu.
Si x = 0, l'équation différentielle se réduit à y' = 0 et l'équation (c) fournit y = a puisque O déjà exclu. On conserve donc les points x = 0, y = a, correspondant aux tangentes horizontales de la famille de cercles (ailleurs qu'en O).