Cercle et coordonnées barycentriques
niveau 1èreS/TerS Requis : coordonnées barycentriques |
Soit (C) un cercle de centre O, circonscrit à un triangle ABC; on note R son rayon. On note (x, y, z) les coordonnées barycentrique de M dans le repère ABC. Le but de cet exercice est de montrer :
xyAB2 + yzBC2 + zxCA2 = 0 (1)
1°/
Calculer le produit scalaire
OA.OB en
fonction de AB et R (la notation
gras-italique désigne un vecteur).
Faites un calcul analogue pour OB.OC
et OC.OA
2°/ Montrer que M est un point de (C) si et seulement si, (x.OA + y.OB + z.OC)2 = (x + y + z)2.R2
3°/ Développer les deux membres de l'égalité ci-dessus et utiliser 1° afin d'établir la relation cherchée.
4°/ Vérifier la relation (1) lorsque le triangle ABC est équilatéral de côté a, et M symétrique de B par rapport à O.
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
Solution : |
1°) Dans le triangle OAB, on a AB2 = (OB - OA)2 = 2R2 - 2OA.OB . On en déduit
OA.OB = ½(2R2 - AB2)
2°) Par définition des coordonnées barycentriques, on a xMA + yMB + zMC = 0, et, par suite :
(x + y + z).OM = x.OA + y.OB + z.OC
M appartient au cercle (ABC) si et seulement si OM2 = R2 c'est à dire :
(x + y + z)2R2 = (x.OA + y.OB + z.OC)2
3°) On développe les deux membres de l'égalité ci-dessus en remarquant que OA.OA = OA2 = R2 = OB2 = OC2. Ce qui permet d'obtenir facilement :
xy(1 - OA.OB/R2) + yz(1 - OB.OC/R2) + zx(1 - OC.OA/R2) = 0
et d'après 1°), il vient immédiatement la relation cherchée.
4°) On a ici OB + OM = 0 et MA + MC = MO car AMCO est un losange. D'où ½MB - MA - MC = 0, soit 2MA - MB + 2MC = 0. Ce qui donne ici : x = 2, y = -1, z = 2 (on peut normaliser en divisant par 3 mais ce n'est pas nécessaire) avec AB = BC = CA = a :
xyAB2 + yzBC2 + zxCA2 = -2a2 - 2a2 + 4a2 = 0