ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cercle et coordonnées barycentriques          niveau 1èreS/TerS       
     
Requis : coordonnées barycentriques

Soit (C) un cercle de centre O, circonscrit à un triangle ABC; on note R son rayon. On note (x, y, z) les coordonnées barycentrique de M dans le repère ABC. Le but de cet exercice est de montrer :

xyAB2 + yzBC2 + zxCA2 = 0     (1)

1°/ Calculer le produit scalaire OA.OB en fonction de AB et R (la notation gras-italique désigne un vecteur).
     Faites un calcul analogue pour OB.OC
et OC.OA

2°/ Montrer que M est un point de (C) si et seulement si, (x.OA  + y.OB + z.OC)2 = (x + y + z)2.R2

3°/ Développer les deux membres de l'égalité ci-dessus et utiliser 1° afin d'établir la relation cherchée.

4°/ Vérifier la relation (1) lorsque le triangle ABC est équilatéral de côté a, et M symétrique de B par rapport à O.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°) Dans le triangle OAB, on a AB2 = (OB - OA)2 =  2R2 - 2OA.OB . On en déduit

OA.OB = ½(2R2 - AB2)

2°) Par définition des coordonnées barycentriques, on a xMA + yMB + zMC = 0, et, par suite :  

(x + y + z).OM = x.OA + y.OB + z.OC

M appartient au cercle (ABC) si et seulement si OM2 = R2 c'est à dire :

(x + y + z)2R2 =  (x.OA + y.OB + z.OC)2

3°) On développe les deux membres de l'égalité ci-dessus en remarquant que  OA.OA = OA2  = R2 = OB2 = OC2. Ce qui permet d'obtenir facilement :

xy(1 - OA.OB/R2) + yz(1 - OB.OC/R2) + zx(1 - OC.OA/R2) = 0

et d'après 1°), il vient immédiatement la relation cherchée.

4°) On a ici OB + OM = 0 et MA + MC = MO car AMCO est un losange. D'où ½MB - MA - MC = 0, soit 2MA - MB + 2MC = 0. Ce qui donne ici : x = 2, y = -1, z = 2 (on peut normaliser en divisant par 3 mais ce n'est pas nécessaire) avec AB = BC = CA = a :

xyAB2 + yzBC2 + zxCA2 = -2a2 - 2a2 + 4a2 = 0


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