ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Nombre π et suite de Fibonacci

Vous connaissez sans doute la suite de Fibonacci et le nombre d'or. Mais il vous suffira pour comprendre la suite (sans jeu de mots...) de savoir ceci : La suite (un) de Fibonacci est ainsi définie :

uo= 1 , u1= 1 et pour tout n : un+2 = un+1 + un

Les premiers termes de la suite sont alors : 1 ,1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ...

Construisons un rectangle d'or, c'est à dire un rectangle dont les mesures sont deux valeurs consécutives un+2 et un+3 de la suite, par exemple 5 en largeur et 8 en longueur.

En partageant le rectangle en faisant apparaître le carré de côté OD = un+2 = 5, on fait apparaître un rectangle qui lui même est un rectangle d'or : AOGB dans notre cas. Vous le prouverez facilement. Et si vous faites apparaître le carré AOFH, vous constatez que ODEF est également un rectangle d'or, isométrique au précédent.

On note α la mesure en radians de l'angle ^AOB et β celle de ^EBC. On a ici FG = EC = un, OF = ED = un+1, OD = un+2 et AD = un+3. Dans ces conditions :

tan α = un+2/ un+1 , tan β = un/ un+3 et α - β= π/4  (*)

La fonction Arc tangente, notée souvent Atan (atn ou tan-1 sur les calculatrices) est la fonction réciproque de la fonction tangente sur l'intervalle [-π/2, +π/2] :

y = Atan(x) x = tan(y)

Par exemple π/4 = Atan(1) puisque tan π/4 = 1. On déduit alors de (*) les formules suivantes, que l'on peut vérifier avec une calculatrice, en mode RADian :

  • π/4 = Atan(3/2) - Atan(1/5)
  • π/4 = Atan(13/8) - Atan(5/21)
  • π/4 = Atan(89/55) - Atan(33/144)
  • etc.

 Ces formules rappellent celle de John Machin, établie en 1706 :

π/4 = 4 × Atan(1/5) - Atan(1/239)

et permettent l'élaboration d'un algorithme simple et et précis du célèbre nombre π.

Calcul de π selon J. Machin :


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