ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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Vous connaissez sans doute la suite de Fibonacci et le nombre d'or. Mais il vous suffira pour comprendre la suite (sans jeu de mots...) de savoir ceci : La suite (un) de Fibonacci est ainsi définie :
Les premiers termes de la suite sont alors : 1 ,1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ...
Construisons un rectangle d'or, c'est à dire un rectangle dont les mesures sont deux valeurs consécutives un+2 et un+3 de la suite, par exemple 5 en largeur et 8 en longueur.
En partageant le rectangle en faisant apparaître le carré de côté OD = un+2 = 5, on fait apparaître un rectangle qui lui même est un rectangle d'or : AOGB dans notre cas. Vous le prouverez facilement. Et si vous faites apparaître le carré AOFH, vous constatez que ODEF est également un rectangle d'or, isométrique au précédent.
On note α la mesure en radians de l'angle ^AOB et β celle de ^EBC. On a ici FG = EC = un, OF = ED = un+1, OD = un+2 et AD = un+3. Dans ces conditions :
tan α = un+2/ un+1 , tan β = un/ un+3 et α - β= π/4 (*)
La fonction Arc tangente, notée souvent Atan (atn ou tan-1 sur les calculatrices) est la fonction réciproque de la fonction tangente sur l'intervalle [-π/2, +π/2] :
Par exemple π/4 = Atan(1) puisque tan π/4 = 1. On déduit alors de (*) les formules suivantes, que l'on peut vérifier avec une calculatrice, en mode RADian :
➔ Ces formules rappellent celle de John Machin, établie en 1706 :
et permettent l'élaboration d'un algorithme simple et et précis du célèbre nombre π.
Calcul de π selon J. Machin : »
Nombre
π
et suite de Fibonacci