ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Les clés de la construction de Napoléon : construire l'inverse de
    l'inverse du centre cherché      
  inversion géométrique 

 Cette étude établissant la source de la construction au compas seul du centre d'un cercle donné, dite construction de Napoléon, est due à Frédéric Gorgori, professeur de mathématiques.

Le cercle noir, que l'on nommera (n), est le cercle dont on cherche à construire le centre "perdu". Soit P un point quelconque du cercle et (r) un cercle de centre P, tracé en rouge, nommé (r), coupant (n) en A et B.

P1.  Tout cercle de rayon R, de centre J définit une inversion de pôle J, de puissance √R dont est l'ensemble des points invariants : inversion géométrique

Considérons l'inversion φ de pôle P dont (r) est l'ensemble des points invariants.

P2.  L'inverse d'un cercle (c) passant par le pôle O d'inversion est une droite   inversion Th.2

Notre cercle (n) passant par le pôle P. Selon P2, son inverse est donc une droite. Or, A et B sont invariants en tant que points de (r) : l'inverse de (n) par φ est la droite (AB).

P3.  Dans une inversion transformant un cercle (c) en une droite (d), le centre de (c) et le symétrique du pôle par rapport à (d) sont inverses l'un de l'autre : inversion Th.3

Soit O' le symétrique de P par rapport à (AB). Ce symétrique est facilement constructible au compas seul au moyen de deux cercles de centre A et B passant par P :  symétrie axiale

L'inverse de (n) est (AB) et, selon P3, le centre O de (n) est l'inverse de O', symétrique du pôle P par rapport à (AB).

Pour conclure, il nous faut donc à présent construire φ(O') = O au compas seul. Pour cela, faisons de O' le centre d'un cercle qui se transforme en une droite par l'inversion φ : selon P2, il suffit de faire passer ce cercle par P : nommons-le (b), en bleu ci-dessous. Il coupe (r) en C et D invariants par φ : l'inverse de (b) est la droite (CD).

Appliquons de nouveau P3 : le centre de (b) et le symétrique P' de P par rapport à (CD) sont inverses l'un de l'autre. C'est dire que O' = φ(P'), or φ(O') = O, donc, en appliquant φ,  O = P' (involution) :

Le point O s'obtient donc maintenant très facilement comme symétrique de P par rapport à (CD) à l'intersection, autre que P, des deux cercles roses ci-dessous.

On comprend mieux ainsi la présence des nombreux cercles dans la fameuse construction de Napoléon
qui peuvent sembler, a priori, tirés d'un chapeau...

 

Merci à Frédéric Gorgori pour cette belle justification.


© Frédéric Gorgori & Serge Mehl - www.chronomath.com