ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Une application des nombres complexes en géométrie    niveau TerS
   
(théorème de Van Aubel)             
cas triangulaire

  Peu d'infos sur H. H. van Aubel, professeur de mathématiques à l'Athénée royal d'Anvers (Belgique). On rencontre sur de nombreux sites cette référence dont la source semble être Wikipedia (avec le "e" final manquant à polygone...) : "Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygone quelconque", Nouvelle correspondance mathématique 4 : 40-44.

On considère un quadrilatère ABCD. On construit sur ses côtés, et extérieurement, les quatre carrés ci-dessous.
On trace les diagonales de chaque carré.

Problème :

Établir, en passant dans le plan complexe, que les segments [MQ] et [PR] sont perpendiculaires et de même mesure


  Vous pouvez déplacer les sommets A, B, C et D du quadrilatère. Si l'applet ne fonctionne pas : clic...

Si vous séchez après avoir bien cherché... :     Solution géométrique :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Configuration de van Aubel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

Solution :

Considérons la figure ci-dessous où les points géométriques ont été remplacés par leurs affixes respectifs. Attachons-nous au carré de centre (affixe) m. Le symétrique de d par rapport à m s'obtient aussi par rotation de centre a d'angle +π/2. Si z est l'affixe de ce symétrique, on a donc :

z - a = eiπ/2 x (d - a) = i(d - a), d'où z = a + i(d - a)

et de m = (d + z)/2, on déduit : m = ½[a + d + i(d - a)].

 

On calcule de même :

Par conséquent, par différence, nous obtenons :

Et on constate que i(r - p) = m - q : on passe donc de PR à QM par rotation d'angle π/2.
C'est dire que  (PR) (QM) et PR = QM.


© Serge Mehl - www.chronomath.com