ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Apprendre à construire : constructions de triangles #10    
     
TD niveau 4è/2nde     
 
#1 à 4 , #5 , #6 , #7 , #8 , #9

On demande de construire un triangle ABC dont on ne connaît que les mesures des trois médianes AA', BB' et CC'.

Niveau seconde : l'étude du problème devrait vous mener à énoncer une condition nécessaire et suffisante afin que cette construction soit possible.

Rappels :     

Si tu sèches après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

Analyse :    

Considérons un triangle ABC de centre de gravité G. Soit G' le symétrique de G par rapport au milieu A' de [BC]. Le quadrilatère BGCG' dont les diagonales ont même milieu est un parallélogramme.

Les médianes se coupant aux 2/3 à partir de leur sommet, on a :

BG = BB' , BG' = CG = CC' , GG' = AG = AA'

Construction :   

Un point arbitraire B étant choisi dans le plan, on construit le triangle BGG' au moyen des mesures ci-dessus. On note ensuite A' le milieu de [GG']. Le côté [BC] est obtenu avec C symétrique de B par rapport à A'. Le sommet A sera obtenu par symétrie de G' par rapport à G.

On voit que la construction sera possible si et seulement si l'inégalité triangulaire est vérifiée pour la construction de BGG', soit :

| BG - GG' | < BG' < BG + GG'

C'est à dire, au moyen des données (les médianes) :

| BB' - AA' | < CC' < BB' + AA'

Synthèse :     

Bien que cela paraisse évident, voire superfétatoire..., nous devons maintenant vérifier que le triangle ainsi construit vérifie les conditions de l'énoncé.

Toute construction doit être conduite par analyse et synthèse. L'analyse est le raisonnement aboutissant à la construction cherchée. Mais le processus d'analyse procède par implication : si ABC existe (on suppose la construction aboutie) alors on a nécessairement (forcément en langage élève) ceci ou cela, donc on va faire ceci ou cela.

La synthèse consiste à vérifier que ces conditions nécessaires aboutissant à la construction sont aussi suffisantes, c'est à dire que cette construction vérifie bien toutes les hypothèses de l'énoncé.

Notons x, y et z les mesures des médianes données initialement, à savoir AA' = x, BB' = y, CC' = z.

Ayant construit BGG' puis A et C comme indiqué, BGCG' est, par construction, un parallélogramme, A' est le milieu de [BC] et de [GG'], G est celui de [AG'].  Par conséquent AG mesure x : c'est dire que G est le centre de gravité du triangle ABC dont la médiane AA' mesure x.

(CG) coupe [AB] en C' et (BG) coupe [AC] en B'. On obtient ainsi les médianes (BB') et (CC'). BGCG' étant un parallélogramme, on a CG = BG' = y. De même BG = z : on a donc bien BB' = y et CC' = z.


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