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Diagonale de Cantor ou comment prouver la non dénombrabilité de R
    
  Non dénombrabilité de l'ensemble triadique de Cantor

Considérons l'intervalle J = ]0,1[ des nombres réels compris entre 0 et 1. Tout élément de cet intervalle s'écrit sous la forme x = 0,x1 x2 x3 ... xn... où les xi sont les décimales de x.

Tout nombre décimal étant rationnel, leur ensemble est dénombrable. Ce sont bien sûr les nombres irrationnels qui nous posent problème. Supposons donc cependant que l'ensemble des points de J soit dénombrable. Il existe alors au moins une suite (un) de nombres réels vérifiant la propriété suivante :

Pour tout réel x de J, il existe un entier n pour lequel x = un

Explicitons de la sorte la suite (un) :

Considérons alors le réel x de l'intervalle J ainsi défini : x = 0, x1 x2 x3 ... xn... et la décimale xi de rang i sera 1 si uii est différent de 1 et 2 dans le cas contraire. Par conséquent, x ne peut égaler u1 (il en diffère au moins par u11), x ne peut égaler u2 (il en diffère au moins par u22), x ne peut égaler u3 (il en diffère au moins par u33),... : l'égalité x = un n'a lieu pour aucun entier n.

C'est dire que supposer dénombrable l'ensemble des points de J n'est pas acceptable. Par suite, R n'est pas dénombrable. Son cardinal transfini est noté 1 (aleph 1).

La construction des nombres réels, par Dedekind permet de comprendre qu'il n'y a pas de "trous" entre les nombres réels, contrairement aux cas de N et Q : si les nombres réels sont "alignés", on obtient un ensemble continu identifiable à la droite géométrique. Cantor prouva qu'il n'y a pas de puissance intermédiaire entre le dénombrable (o) et le continu (1).

Dedekind et la "droite numérique" :

L'ensemble triadique de Cantor n'est pas dénombrable :

Ce procédé montre aussi que l'ensemble des nombres de l'intervalle [0,1] ne s'écrivant qu'avec des 0 et des 2 n'est pas dénombrable et permet de conclure quant à la non dénombrabilité de l'ensemble triadique de Cantor. En effet, soit x le réel de l'intervalle J défini par x = 0, x1 x2 x3 ... xn... où la décimale xi de rang i sera 2 si uii est 0 et 0 si uii est 2.

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