ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Diagonale de Cantor
ou comment prouver la non
dénombrabilité de R» Non dénombrabilité de l'ensemble triadique de Cantor |
Considérons l'intervalle J = ]0,1[ des nombres réels compris entre 0 et 1. Tout élément de cet intervalle s'écrit sous la forme :
x = 0,x1 x2 x3 ... xn... où les xi désignent les décimales de x.
Si x est rationnel, non décimal, de la
forme a/b :
la suite des xn est illimitée et
périodique et la longueur de la période ne peut
excéder b - 1 :
Par exemple :
5/11 = 0,45 45 45 45 45 45... (longueur période = 2)
5/13 = 0,384615 384615 384615 384615 384615 (longueur période = 6)
1/7 qui s'écrit : 0,142857142857142857142857... (longueur période = 6
= 7 - 1)
Tout nombre décimal étant rationnel, leur ensemble est dénombrable. Ce sont bien sûr les nombres irrationnels qui nous posent problème. Supposons donc cependant que l'ensemble des points de J soit dénombrable. Il existe alors au moins une suite (un) de nombres réels vérifiant la propriété suivante :
Explicitons de la sorte la suite (un) :
Considérons alors le réel x de l'intervalle J ainsi défini : x = 0, x1 x2 x3 ... xn... et la décimale xi de rang i sera 1 si uii est différent de 1 et 2 dans le cas contraire. Par conséquent, x ne peut égaler u1 (il en diffère au moins par u11), x ne peut égaler u2 (il en diffère au moins par u22), x ne peut égaler u3 (il en diffère au moins par u33),... : l'égalité x = un n'a lieu pour aucun entier n.
C'est dire que supposer dénombrable l'ensemble des points de J n'est pas acceptable. Par suite, R n'est pas dénombrable. Son cardinal transfini est noté ℵ1 (aleph 1).
La construction des nombres réels, par Dedekind permet de comprendre qu'il n'y a pas de "trous" entre les nombres réels, contrairement aux cas de N et Q : si les nombres réels sont "alignés", on obtient un ensemble continu identifiable à la droite géométrique. Cantor prouva qu'il n'y a pas de puissance intermédiaire entre le dénombrable (ℵo) et le continu (ℵ1).
Dedekind et la "droite numérique" : »
Remarquons que le chiffre 2 choisi peut être remplacé par tout chiffre autre que 0 et 1. Le chiffre 0 ne doit pas être employé car on risque alors d'obtenir un élément x décimal : cas, certes "peu probable", où la suite des uii serait stationnaire et égale à 1 à partir d'un certain rang... Si ce cas fortuit apparaissait, x serait nécessairement, en tant que nombre décimal, un élément de la suite un.
x a été formé à partir des éléments diagonaux de la matrice des ui, d'où l'appellation de l'algorithme : procédé de la diagonale de Cantor. Nous avons construit, par ce procédé, un nombre irrationnel non présent dans la liste des ui.
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L'ensemble triadique de Cantor n'est pas dénombrable : |
Ce procédé montre aussi que l'ensemble des nombres de l'intervalle [0,1] ne s'écrivant qu'avec des 0 et des 2 n'est pas dénombrable et permet de conclure quant à la non dénombrabilité de l'ensemble triadique de Cantor. En effet, soit x le réel de l'intervalle J défini par x = 0, x1 x2 x3 ... xn... où la décimale xi de rang i sera 2 si uii est 0 et 0 si uii est 2.
➔ Pour en savoir plus :
