ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quadrifolium en tant que podaire de l'astroïde        animation   
    
Quadrifolium (étude polaire directe)

L' astroïde a pour équation paramétrique :

x = 3cos t + cos 3t , y = 3sin t - sin 3t    (avec r = 1, R= 4)

Selon la théorie, l'équation de la podaire par rapport à O sera :

X = y' x (xy' - yx')/(x'2 + y'2) , Y = - x' x (xy' - yx')/(x'2 + y'2)

ce qui conduit sans difficultés aux relations  x'2 + y'2 = 18 - 18cos 4t    et   xy' - yx' = 6 - 6cos 4t

D'où l'équation de la podaire et la courbe représentée ci-dessous en bleu par Graphmatica :

X = cos t - cos 3t , Y = sin t + sin 3t , t variant sur [0,2π] ou [-π,+π]

Mais le quadrifolium, direz-vous, est plutôt connu par son équation polaire de la forme :

x = a.sin2 t.cos t  ,  y = a.cos2 t.sin t

Or :

Partant de notre podaire d'équation X = cos t - cos 3t , Y = sin t + sin 3t, nous avons :

C'est bien notre quadrifolium avec a = 4.

= génération du quadrifolium; pour effacer / relancer le lieu double-cliquer / cliquer dans la figure =
manuellement : déplacer T. La normale en M est (TM)    
développée de l'astroïde



Un pentafolium ?.. :


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