ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Quadrifolium en tant que podaire de l'astroïde   
    
Quadrifolium (étude polaire directe) |  Développée de l'astroïde

L'astroïde a pour équation paramétrique :

x = 3cos t + cos 3t , y = 3sin t - sin 3t    (avec r = 1, R= 4)

Selon la théorie, l'équation de la podaire par rapport à O sera :

X = y' x (xy' - yx')/(x'2 + y'2) , Y = - x' x (xy' - yx')/(x'2 + y'2)

ce qui conduit sans difficultés aux relations  x'2 + y'2 = 18 - 18cos 4t    et   xy' - yx' = 6 - 6cos 4t

D'où l'équation de la podaire et la courbe représentée ci-dessous en bleu par Graphmatica :

X = cos t - cos 3t , Y = sin t + sin 3t , t variant sur [0,2π] ou [-π,+π]

Mais le quadrifolium, direz-vous, est plutôt connu par son équation polaire de la forme :

x = a.sin2 t.cos t  ,  y = a.cos2 t.sin t

Or :

Partant de notre podaire d'équation X = cos t - cos 3t , Y = sin t + sin 3t, nous avons :

C'est bien notre quadrifolium avec a = 4.

Génération du quadrifolium :   

La podaire est générée ci-dessous au moyen d'un logiciel de géométrie dynamique, ici Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Pour effacer / relancer le lieu double-cliquer / cliquer dans la figure
Vous pouvez aussi déplacer T manuellement. La normale en M est (TM)

Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Un pentafolium ?.. :


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