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Quadrifolium en tant que podaire de l'astroïde         » Quadrifolium (étude polaire directe) |  Développée de l'astroïde

L'astroïde a pour équation paramétrique :

Selon la théorie, l'équation de la podaire par rapport à O sera :

ce qui conduit sans difficultés aux relations  x'² + y'² = 18 - 18cos 4t    et   xy' - yx' = 6 - 6cos 4t

D'où l'équation de la podaire et la courbe représentée ci-dessous en bleu par Graphmatica :

X = cos t - cos 3t , Y = sin t + sin 3t , t variant sur [0,2π] ou [-π,+π]

Mais le quadrifolium, direz-vous, est plutôt connu par son équation polaire de la forme :

Or :

• cos3t = cos(2t + t) = cos 2t.cos t - sin 2t.sin t

• sin 3t = sin 2t.cos t + sin t.cos 2t

• 1 - cos 2t = 2sin²t

• 1 + cos 2t = 2cos²t

• sin 2t = 2sin t.cos t

Partant de notre podaire d'équation X = cos t - cos 3t , Y = sin t + sin 3t, nous avons :

• X = cos t - cos 3t = cost(1 - cos 2t) + sin2t.sin t = 4sin²t.cos t

• Y = sin t + sin 3t = sint(1 + cos 2t) + sin 2t.cos t = 4cos²t.sin t

C'est bien notre quadrifolium avec a = 4.

Génération du quadrifolium :   

La podaire est générée ci-dessous au moyen d'un logiciel de géométrie dynamique, ici Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :