ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construction de Napoléon (ou problème de Napoléon)

Cette construction du centre d'un cercle, dite de Napoléon, est en fait empruntée au mathématicien italien Lorenzo Mascheroni que le jeune général Napoléon Bonaparte, futur empereur des français et amateur de géométrie, rencontra lors de la campagne d'Italie (1796-97) :

Construire au seul compas le centre (supposé perdu) d'un cercle donné

Au cours d'une soirée à paris, pour fêter la paix de Campo Formio (10 décembre 1797), Lagrange et Laplace sont présents et ce dernier, qui fut une décennie plus tôt un des examinateurs du jeune Bonaparte à l'École militaire de Paris, lui aurait dit  « Nous attendions tout de vous, Général, sauf des leçons de géométrie »^[1].

 Hilbert, qui s'intéressa au sujet, prouvera que la construction à la règle seule, de ce centre, est impossible.

Notons également que si on sait construire au seul compas le symétrique d'un point par rapport à un autre, on peut simplifier la solution :

 Le cercle (c) donné, dont on recherche le centre, est en rouge gras sur la figure ci-dessous:

1. Choisir un point P du cercle (c) et tracer un cercle (c') de centre P (en bleu);
2. (c') coupe (c) en A et B;
3. Les cercles (en noir) de centre A et B passant par P se coupent en C;
4. Le cercle (en gris) de centre C passant par P coupe (c') en D et E;
5. Les cercles (en vert) de centre D et E passant par P se coupent au centre O cherché.

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Vous pouvez réduire/agrandir les cercles (c) rouge et (c') bleu

Justification élémentaire :    

Par construction, la figure possède (PC) comme axe de symétrie et le point O est situé sur cet axe.

Par construction encore, les triangles CDP et DOP sont isocèles (d'une part, CD = CP, DO = DP d'autre part) et ont en commun l'angle ^P. Par suite, leurs angles à la base ont même mesure ainsi que leur angle principal. Ils sont donc homothétiques.

 On peut les représenter en faisant apparaître une configuration élémentaire de Thalès :

Avec les notations ci-dessus, on peut écrire : CP/CP' = DP/D'P', c'est à dire CP/DP = DP/OP. Mais DP = AP en tant que rayons de (c'). Par suite : CP/AP = AP/OP.

Considérons les triangles APC et APO : le triangle APC est isocèle et possède avec APO l'angle ^P en commun. L'égalité des rapports précédents indique (réciproque de la propriété de Thalès) que ces triangles sont homothétiques et par conséquent APO est isocèle. Ainsi OA = OP et par symétrie OA = OB.

On en déduit que A, B et P sont trois points de (c) à égale distance de O : ce point est donc bien le centre du cercle (c).

à la source de cette construction, l'inversion géométrique :  »

 ➔   Pour en savoir plus :

1. Leçons sur les constructions géométriques, par Henri-Léon Lebesgue
2. Théorie des corps, la règle et le compas, Jean-Claude Carrega, Éd. Hermann, Paris - 1989

3. Le site de Jen-chung Chuan, nombreux exemples :
   - Constructions au compas seul : http://poncelet.math.nthu.edu.tw/chuan/compass-only/compass-only.html
   - Constructions à la règle seul : http://poncelet.math.nthu.edu.tw/chuan/ruler-only/ruler-only.html