ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cubique de Tschirnhausen et trisectrice de Catalan           
 
trisection de l'angle

Comme expliqué sur la page cubique de Tschirnhausen, la parabole est la podaire de cette cubique par rapport à son foyer F, c'est à dire l'ensemble des points M qui sont les pieds des perpendiculaires menées de F aux tangentes à la cubique.

Quand T décrit la cubique que nous notons (c), on a ^FMK = ^KMx' = ^MKF : MFK est isocèle en F.

Attachons-nous à la figure ci-dessous (mêmes notations) où le point T est atteint. Le triangle FMT étant rectangle en M, le milieu J de l'hypoténuse vérifie JF = JM : les angles ^JFM et ^FMJ ont même mesure.

Notons α l'angle ^MFK et l'angle ^TFK. On a ^FMK = ½(π - α). On a donc : ^FMK = ^FMJ = ^MFJ = α + . On en déduit l'égalité :

3α = π - 2, ou en degrés : 3α = 180° - 2 , ou encore : /3 = 30° - α/2

Par conséquent, un angle aigu de mesure étant donné, on place T sur la cubique afin que ^xFT = . La tangente en T fournit M, puis l'angle α = ^MFx. On construit la bissectrice de ^MFx. On a alors construit α/2. Il faut retirer 30° (π/6). Or 30° est constructible : c'est la trisection de l'angle droit.


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