ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Encadrement élémentaire de e

Le nombre e, base des logarithmes népériens est l'unique solution de l'équation : ln x = 1 Afin de calculer par diverses méthodes informatiques une "bonne" valeur approchée de e, il est indispensable de connaître un encadrement préalable simple de e.

Le graphique ci-dessus va nous renseigner sur la place du nombre e relativement à 2 et 3. Nous savons que :

   et ln e = 1

Traçons la courbe représentative de f(x) = 1/x sur l'intervalle [0;4].

• L'aire du trapèze (en bleu) est (1 + ½)/2 = 3/4 et approche par excès l'intégrale de 1/t sur l'intervalle [1,2]. Cette dernière est donc inférieure à 1 et par conséquent e > 2.
• Une équation de la tangente (T) à la courbe en x = 3/2  est y = -4x/9 + 4/3. Sur cette droite, on vérifie que si x = 1, alors y = 8/9 et que si x = 2 alors y = 4/9. Par suite l'aire du trapèze bleu "sous" la tangente est (8/9 + 4/9)/2 = 2/3.
• Or l'aire du rectangle jaune "sous" la courbe est 1/3 et 2/3 + 1/3 = 1. Par conséquent l'intégrale de 1/t sur l'intervalle [1,3] est supérieure à 1 et on en déduit e < 3.

C'est dire que e vérifie :

  2 < e <  3