ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

On considère la suite numérique définie, pour tout n de N, par la relation de récurrence :

        (r)

1°/ Vérifier par récurrence que pour tout n de N, on a u_n > 3.
2°/ Montrer que la suite (u_n) est strictement décroissante.

Il apparaît donc que la suite (u_n) est décroissante minorée : elle est donc convergente (» Weierstrass ) et sa limite est un point fixe de f, c'est à dire une valeur α telle que f(α)  = α.

La seule valeur de α est 3, solution de l'équation α² - 6α + 9 = 0 = (α - 3)² : la suite converge vers 3. Mais utilisons des résultats "moins forts" afin d'arriver à la même conclusion :

3°/ On pose pour tout n de N :

Prouver que la suite (v_n) est arithmétique, calculer v_n en fonction de n; en déduire la limite de v_n puis celle de u_n.

 ➔  Indications :   

• Exprimer u_n en fonction de v_n et remplacer dans la relation de récurrence (r);

• On trouvera que (v_n) est une suite arithmétique de raison 1 : elle diverge donc vers l'infini et par suite u_n - 3 converge vers 0.

» convergence en escalier , convergence spirale , divergence spirale