ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

  Étude d'une suite définie par récurrence  un+1 = f(un)       niveau Ter/Sup
 
         Récurrence double : #2 , #3 , Autres exemples

On considère la suite numérique définie, pour tout n de N, par la relation de récurrence :

        (r)

1°/ Vérifier par récurrence que pour tout n de N, on a un > 3.
2°/ Montrer que la suite (un) est strictement décroissante.

Il apparaît donc que la suite (un) est décroissante minorée : elle est donc convergente ( Weierstrass ) et sa limite est un point fixe de f, c'est à dire une valeur α telle que f(α = α.

La seule valeur de α est 3, solution de l'équation α2 - 6α + 9 = 0 = (α - 3)2 : la suite converge vers 3. Mais utilisons des résultats "moins forts" afin d'arriver à la même conclusion :

3°/ On pose pour tout n de N :

Prouver que la suite (vn) est arithmétique, calculer vn en fonction de n; en déduire la limite de vn puis celle de un.

Exprimer un en fonction de vn et remplacer dans la relation de récurrence (r); on trouvera que (vn) est une suite arithmétique de raison 1 : elle diverge donc vers l'infini et par suite un - 3 converge vers 0.

convergence en escalier , convergence spirale , divergence spirale


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