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On considère la suite numérique définie, pour tout n de N, par la relation de récurrence :
(r)
1°/ Vérifier par récurrence que pour tout n de N, on a un
> 3.
2°/ Montrer
que la suite (un) est strictement décroissante.
Il apparaît donc que la suite (un) est décroissante minorée : elle est donc convergente (» Weierstrass ) et sa limite est un point fixe de f, c'est à dire une valeur α telle que f(α) = α.
La seule valeur de α est 3, solution de l'équation α2 - 6α + 9 = 0 = (α - 3)2 : la suite converge vers 3. Mais utilisons des résultats "moins forts" afin d'arriver à la même conclusion :
3°/ On pose pour tout n de N :
Prouver que la suite (vn) est arithmétique, calculer vn en fonction de n; en déduire la limite de vn puis celle de un.
➔ Indications :
Exprimer un en fonction de vn et remplacer dans la relation de récurrence (r);
On trouvera que (vn) est une suite arithmétique de raison 1 : elle diverge donc vers l'infini et par suite un - 3 converge vers 0.
» convergence en escalier , convergence spirale , divergence spirale