ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Racine carrée selon Théon de Smyrne       TD niveau TerSpéMath /Sup        Usage du tableur      » voir aussi  #1 , #2

Considérons une suite de carrés emboîtés de côté x_o, x₁, x₂, ...x_n obtenus en ajoutant à la mesure du côté précédent la mesure de sa diagonale. Les nombres x_n sont dits latéraux.  Soit y_n la diagonale du carré de côté x_n. Les y_n sont dits, on s'en doute..., diagonaux.

On a x_n+1 = x_n + y_n  et selon le théorème de Pythagore :

y_n = √2 x x_n  et  y_n+1 =  √2 × x_n+1 = √2 x (x_n + y_n)

Par conséquent : y_n+1 =  y_n + 2x_n

Posons alors r_n = y_n/x_n. Il est aisé de montrer :

Il est ainsi construit une suite récurrente de la forme r_n+1 = f(u_n) dont il est facile de prouver la convergence vers √2 en choisissant par exemple r_o = 1, ce qui correspond à choisir x_o = 1 et approximer y_o également à cette valeur. Mais nous allons généraliser l'algorithme à la racine carrée d'un nombre positif quelconque :

Soit A un nombre positif; on pose x_o = 1, y_o = 1, et, pour tout entier naturel n :

 x_n+1 = x_n + y_n   et   y_n+1 =  y_n + Ax_n

1°/ Prouver que les suites (x_n) et (y_n) sont strictement croissantes et divergentes.

2°/  Pour n ≥ 2, justifier x_n > (1 + A)x_n-2; en déduire x_2n > (1 + A)ⁿ pour tout n  ≥  1.

_{3°/ Vérifier, par un calcul élémentaire, que :}

     En déduire que pour tout n :

               » Noter que si A = 2, on retrouve une équation de Pell.

4°/ On pose, pour tout entier naturel n :  r_n = y_n/x_n et v_n = r_2n. Montrer que l'on a :

5°/ Poser r_n+1 = f(r_n); exprimer f et vérifier que :

• si 0 < A < 1, alors f est strictement croissante et la suite (v_n) converge en décroissant vers √A, l'erreur à chaque itération n'excédant pas :

• si A > 1, alors f est strictement décroissante et la suite (v_n) converge en croissant vers √A, l'erreur à chaque itération n'excédant pas :

6°/  On pose w_n = r_2n+1. Montrer que les suites (v_n) et (w_n) sont adjacentes : c'est à dire :

• l'une est croissante majorée par √A tandis que l'autre est décroissante minorée par √A;

• lim (v_n - w_n) = 0.

 ➔  On obtient ainsi un encadrement de la racine carrée cherchée et un calcul très simple de l'erreur commise.

Calcul des v_n = r_2n :

Le calcul de r_2n se programme très facilement sur tableur (ici Microsoft Excel). Partant de x_o et y_o (ligne 2) on obtient x_2n en calculant x_n+2 = (A + 1)x_n + 2y_n. De même y_2n = (A + 1)y_n + 2Ax_n.

On écrit ces formules en ligne 3; on exprime r_2n = y_2n/x_2n; A est placé en H1, cellule que l'on nomme A, et l'erreur est calculée suivant que A est < 1 ou > 1. On recopie vers le bas autant de fois que voulu.

♦ Formulation :

♦ Exécution :

 ! L'inconvénient de la méthode est, que pour A > 1, (A ± 1)ⁿ devient "rapidement" très grand et pose des problèmes de dépassement de capacité. On peut contourner provisoirement la difficulté en recourant aux logarithmes :

Programme JavaScript : »

♦ Exécution :