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Transcendante (équations, courbes) selon l'Encyclopédie de Diderot et d'Alembert

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GÉOMÉTRIE TRANSCENDANTE (ou sublime) est le nom que l'on donne à la partie de la géométrie qui considère les propriétés des courbes de tous les ordres et qui se sert, pour découvrir ces propriétés, de l'analyse la plus difficile c'est-à-dire de calculs différentiel et intégral.

ÉQUATIONS TRANSCENDANTES sont celles qui ne renferment point, comme les équations algébriques, des quantités finies, mais des différentielles ou fluxions (dérivées) de quantités finies, bien entendu que ces équations entre les différentielles doivent être telles qu'elles ne puissent se réduire à une équation algébrique.

Par exemple l'équation (aa + xx désigne a² + x², mais cette dernière notation était pourtant déjà utilisée à l'époque, » exposant) :

qui parait être une équation transcendante, est réellement une équation algébrique, parce qu'en intégrant séparément les deux membres, on a :

Mais l'équation :

est une équation transcendante, parce qu'on ne peut exprimer en termes finis les intégrales de chaque membre de cette équation : l'équation qui exprime le rapport entre un arc de cercle et son sinus est une équation transcendante car M. Newton a démontré (voyez Quadrature) que le rapport ne pourrait être représenté par aucune équation algébrique finie, d'où il s'ensuit qu'il ne peut l'être que par une équation algébrique d'une infinité de termes (développement en série), ou par une équation transcendante.

→ d'Alembert utilise souvent xx pour x², aa pour a² (→ exposant). Le premier exemple exprime que la dérivée de √u est u'/2√u, fournissant la solution donnée (à une constante près). Quant au second exemple, quitte à poser x = az, on se ramène au cas a = 1 et au cercle trigonométrique. Si y désigne l'arc en bleu (ci-contre), x (en rouge) en est le sinus : x = sin y; en différentiant, on a dx = cosy.dy, soit dy/dx = 1/cosy = 1 / √(1-x²). On a y = Arcsin x (→ Arcsin).

On met ordinairement au rang des équations transcendantes les équations exponentielles, quoique ces équations puissent ne renfermer que des quantités finies mais ces équations différent des algébriques en ce qu'elles renferment des exposants variables et on ne peut faire disparaître ces exposants variables qu'en réduisant l'équation à une équation différentielle. Par exemple, soit y = a^x qui est une équation exponentielle, il faut pour, faire disparaître l'exposant x, différencier l'équation, ce qui donnera : dx = dy/y (→ en fait dy/y = log a x dx, puis dy/y = dx choisissant a comme base des logarithmes), équation différentielle et transcendante.

COURBE TRANSCENDANTE, dans la sublime (transcendante) géométrie, est celle que l'on ne saurait déterminer par aucune équation algébrique, mais seulement par une équation transcendante. Ces courbes sont celles que M. Descartes et plusieurs autres à son exemple, appellent courbes mécaniques et qu'ils voudraient exclure de la géométrie mais Mrs. Newton et Leibnitz sont d'un autre sentiment. En effet, dans la construction des problèmes géométriques, une courbe ne doit point être préférée à une autre, en tant qu'elle est déterminée par une équation plus simple, mais entant qu'elle est plus aisée à décrire.

Jean le Rond d'Alembert