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Formule de Binet pour les suites de Fibonacci et de Lucas

La formule de Binet exprime, en fonction de n, le n-ème terme de la célèbre suite des entiers de Fibonacci définie par uo = u1 = 1 et :

          (1)

Preuve :    

La suite de Fibonacci vérifie uo = u1 = 1 et un+2 = un + un+1. C'est une suite récurrente linéaire à deux termes. Son équation caractéristique est r2 - r - 1 = 0 fournissant deux solutions réelles r1 = (1 + 5)/2 = Φ (nombre d'or) et r2 = (1 - 5)/2 = -1/Φ (opposé de la section dorée). On a un = αr1n + βr2n . Le système calculant α et β s'écrit ici :

1 = α + β
1 =
αr1 + βr2

Le déterminant est D = - 5 et les solutions α = (r2 - 1)/D = r1/5  et β = (1 - r1)/D = - r2/5. D'où la formule de Binet. Écrite au moyen de Φ, on obtient :

          (2)

Comment retrouver le nombre d'or à partir de la formule de Binet :   

 On pourra vérifier, en manipulant avec pertinence la formule de Binet, que le rapport un+1/un admet pour limite le célèbre nombre d'or : pour ce faire, simplifiez les puissances de 2 (il ne doit rester que 1/2 en facteur du rapport), puis vous mettrez (1 + 5)n+2 et (1 + 5)n+1 artificiellement en facteur respectivement du numérateur et du dénominateur.

Cet artifice vous conduit à (1 + 5)/2 en facteur d'une expression fractionnaire dont les numérateur et dénominateur tendent tout simplement vers 1 - 0 pour n infini... D'où le résultat cherché !


Établir la formule de Binet pour la suite (Ln) des nombres de Lucas, à savoir :


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