ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Formule de Binet
pour les suites de Fibonacci et de Lucas |
La formule de Binet exprime, en fonction de n, le n-ème terme de la célèbre suite des entiers de Fibonacci définie par uo = u1 = 1 et :
(1) Preuve :
La suite de Fibonacci vérifie uo = u1 = 1 et un+2 = un + un+1. C'est une suite récurrente linéaire à deux termes. Son équation caractéristique est r2 - r - 1 = 0 fournissant deux solutions réelles r1 = (1 + √5)/2 = Φ (nombre d'or) et r2 = (1 - √5)/2 = -1/Φ (opposé de la section dorée). On a un = αr1n + βr2n . Le système calculant α et β s'écrit ici :
1 = α + β
1 = αr1 + βr2
Le déterminant est D = - √5 et les solutions α = (r2 - 1)/D = r1/√5 et β = (1 - r1)/D = - r2/√5. D'où la formule de Binet. Écrite au moyen de Φ, on obtient :
(2)
Comment retrouver le nombre d'or à partir de la formule de Binet :
On pourra vérifier, en manipulant avec pertinence la formule de Binet, que le rapport un+1/un admet pour limite le nombre d'or : pour ce faire, simplifiez les puissances de 2 (il ne doit rester que 1/2 en facteur du rapport), puis vous mettrez (1 + √5)n+2 et (1 + √5)n+1 artificiellement en facteur, respectivement, du numérateur et du dénominateur.
Cet artifice vous conduit à (1 + √5)/2 en facteur d'une expression fractionnaire dont les numérateur et dénominateur tendent tout simplement vers 1 - 0 pour n infini... D'où le résultat cherché !
∗∗∗
Établir la formule de Binet pour la suite (Ln)
des nombres de Lucas, à savoir :
