u_n - L = aⁿ(u_o - L)

♦  Récurrence linéaire à 2 termes, u_o et u₁ donnés et : (2)  u_n+2 = au_n + bu_n+1 :

Le problème devient plus subtil :

• L'exemple type d'une récurrence linéaire à deux termes (ordre 2) est la célèbre suite de Fibonacci définie pour a = b = 1 par :

u_o = u₁ = 1 et u_n+2 = u_n + u_n+1

• Le cas a = 0 correspond à une suite géométrique de raison b.

• Le cas b = 0 fournit u_n+2 = au_n, ce que l'on peut écrire u_n = au_n-2 (n ≥ 2). En distinguant les cas n pair (n = 2p) et n impair (n = 2p + 1), on obtiendra aisément et respectivement :

u_2p = a^p-1u_o  et  u_2p+1 = a^p-1u₁   (p ≥ 1)

On suppose maintenant que a et b sont non nuls :

 ➔  Remarquons que si (x_n) et (y_n) sont deux solutions distinctes vérifiant la récurrence (2), alors la suite (z_n) définie par z_n = αx_n + βy_n en est aussi une : l'ensemble des suites (u_n) est un espace vectoriel sur R. Cet espace dépendant de deux paramètres a et b, montrons que cet espace est de dimension 2 en notons que la donnée de u_o et u₁ définit une suite et une seule vérifiant la récurrence donnée.

♦  Cas Δ = 0. L'équation caractéristique possède une solution double r = b/2.

Lorsque Δ = 0 et b = 2, on a r = 1 ! Cela correspond alors à a = -1. Dans ce cas, on peut écrire u_n+2 - u_n+1 = u_n+1 - u_n . La suite est arithmétique. u_n sera de la forme λn + µ. Plus précisément (u₁ - u_o)n + u_o. La dimension tombe à 1, voire à 0 si u₁ - u_o ! Le rôle de u_o et u₁ est évidemment important pour la nature exacte de la suite : suite arithmétique éventuellement constante (raison 0).

Hormis ce cas particulier, à l'instar de la résolution des équations différentielles linéaires du second ordre, recherchons une seconde solution de la forme u_n = rⁿv_n où (v_n) désigne une suite numérique adéquate à déterminer. On est conduit à rⁿ⁺²v_n+2 = arⁿv_n + brⁿ⁺¹v_n+1. On simplifie par rⁿ (non nul) et, en remarquant que a = -b²/4, on obtient : v_n+2 = -v_n + 2v_n+1, ce que l'on peut écrire : v_n+2 - v_n+1 = v_n+1 - v_n : la suite (v_n) doit donc être arithmétique.

Notons ρ la raison de cette suite. On a v_o = u_o et v_n = v_o + ρn =  u_o + ρn. On obtiendra une seconde solution rⁿ(u_o + ρn) non proportionnelle à rⁿ pour toute valeur non nulle de ρ. Or, u₁ = rv₁ = ½b(u_o + ρ). D'où ρ = (2u₁ - bu_o)/b et cette raison n'est nulle que lorsque u₁ = ru_o = ½bu_o.

Quoi qu'il en soit, nous pouvons choisir la suite (nrⁿ) comme second "vecteur" de base de l'espace vectoriel des solutions de (2) lorsque b² = -4a et écrire que la solution générale est alors donnée par :

 u_n = rⁿ (αn + β), r =  b/2, α et β étant déterminés par la donnée de u_o et u₁ : β = u_o, α = 2u₁/b -u_o

♦ Cas Δ < 0. L'équation caractéristique n'a pas de solutions réelles (a est alors négatif); elle admet deux solutions complexes conjuguées z et z car ses coefficients sont réels.

• Elles ont même module ρ, leur produit est | z ^|2 = -a/1 = -a. Donc ρ² = | a |.

• Si  ± θ désigne les arguments respectifs, on a z + z = b/ 1 = b = 2ρcosθ

Finalement :

On s'intéresse ici aux solutions réelles. Les solutions engendrées par zⁿ et zⁿ permettent d'extraire par linéarité : zⁿ + zⁿ = 2ρⁿcosnθ et i(zⁿ - zⁿ) = 2ρⁿsinnθ afin d'éliminer les parties imaginaires. Les solutions réelles sont alors exprimées sous :