ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Suites numériques récurrentes linéaires à 1 ou 2 termes
     type  un+1 = aun + b  et un+2 = aun + bun+1   (a,b) ≠ (0,0)

  Récurrence linéaire à 1 terme,  uo donné et : (1) un+1 = aun + b :

Les suites récurrentes à 1 terme, ou d'ordre 1, de la forme un+1 = aun + b où a, b et uo sont des nombres réels donnés, s'étudient très simplement :

Lorsque a est distinct de 1, il suffit d'étudier la suite auxiliaire définie par vn = un - L où L désigne la limite éventuelle de (un), c'est à dire vérifiant  L = aL + b, soit L = b/(1 - a). La solution générale est alors donnée par :

un - L = an(uo - L)

  Récurrence linéaire à 2 termes, uo et u1 donnés et : (2)  un+2 = aun + bun+1 :

Le problème devient plus subtil :

uo = u1 = 1 et un+2 = un + un+1

u2p = ap-1uo  et  u2p+1 = ap-1u1   (p ≥ 1)

On suppose maintenant que a et b sont non nuls :

Remarquons que si (xn) et (yn) sont deux solutions distinctes vérifiant la récurrence (2), alors la suite (zn) définie par zn = αxn + βyn en est aussi une : l'ensemble des suites (un) est un espace vectoriel sur R. Cet espace dépendant de deux paramètres a et b, montrons que cet espace est de dimension 2 en notons que la donnée de uo et u1 définit une suite et une seule vérifiant la récurrence donnée.

Supposons que (xn) et (yn) soient deux suites linéairement indépendantes vérifiant la récurrence (2) : un+2 = aun + bun+1. Montrons qu'il existe des réels α et β tels que  un = αxn + βyn.

On doit avoir, pour tout n de N :

un = αxn + βyn
un+1 =
αxn+1 + βyn+1

Le déterminant de ce système en α et β est D = xnyn+1 - xn+1yn.

  • Si D = 0, alors (xn,xn+1) est colinéaire à (yn,yn+1) : xn = kyn et xn+1 = kyn+1. Si k est nul, la suite (xn) est la suite nulle et (xn) et (yn) ne sont pas linéairement indépendantes. Si k est non nul, xn = kyn montre que (xn) et (yn) ne sont pas linéairement indépendantes.

  • D est donc non nul, α et β existent, sont uniques et notre espace de suites sera bien de dimension 2 à condition d'en trouver une base de cardinal 2 :

Inspiré par le cas précédent d'ordre 1, cherchons des solutions éventuelles sous la forme rn. On est ramené à l'équation r2 - br - a = 0, dite équation caractéristique (rappelant la résolution des équations différentielles linéaires du second ordre).

Cette équation du second degré a pour discriminant Δ = b2 + 4a.

Discussion :    

  Cas Δ > 0. On a deux solutions distinctes r1 et r2. Le coefficient a n'étant pas nul, aucune des deux solutions n'est nulle et les suites de terme général r1n et r2n sont indépendantes (non proportionnelles) car le rapport r1n/r2n = (r1/r2)n est fonction de n. Considérons la suite de terme général :

un = αr1n + βr2n

où (α, β) est l'unique couple déterminé par la donnée de uo et u1, c'est à dire l'unique solution du système linéaire de déterminant r2 - r1 0 :

α + β = uo
αr1 + βr2
= u1

Cette suite vérifie (2) et les conditions initiales : c'est l'unique solution de notre problème. le couple {(r1n), (r2n)} est une base de notre espace.

Exemple d'application, formule de Binet pour la suite de Fibonacci :

  Cas Δ = 0. L'équation caractéristique possède une solution double r = b/2.

 Lorsque Δ = 0 et b = 2, on a r = 1 ! Cela correspond alors à a = -1. Dans ce cas, on peut écrire un+2 - un+1 = un+1 - un . La suite est arithmétique. un sera de la forme λn + µ. Plus précisément (u1 - uo)n + uo. La dimension tombe à 1, voire à 0 si u1 - uo ! Le rôle de uo et u1 est évidemment important pour la nature exacte de la suite : suite arithmétique éventuellement constante (raison 0).

Hormis ce cas particulier, à l'instar de la résolution des équations différentielles linéaires du second ordre, recherchons une seconde solution de la forme un = rnvn où (vn) désigne une suite numérique adéquate à déterminer. On est conduit à rn+2vn+2 = arnvn + brn+1vn+1. On simplifie par rn (non nul) et, en remarquant que a = -b2/4, on obtient : vn+2 = -vn + 2vn+1, ce que l'on peut écrire : vn+2 - vn+1 = vn+1 - vn : la suite (vn) doit donc être arithmétique.

  Notons ρ la raison de cette suite. On a vo = uo et vn = vo + ρn =  uo + ρn. On obtiendra une seconde solution rn(uo + ρn) non proportionnelle à rn pour toute valeur non nulle de ρ. Or, u1 = rv1 = ½b(uo + ρ). D'où ρ = (2u1 - buo)/b et cette raison n'est nulle que lorsque u1 = ruo = ½buo.

Quoi qu'il en soit, nous pouvons choisir la suite (nrn) comme second "vecteur" de base de l'espace vectoriel des solutions de (2) lorsque b2 = -4a et écrire que la solution générale est alors donnée par :

 un = rn (αn + β), r =  b/2, α et β étant déterminés par la donnée de uo et u1 : β = uo, α = 2u1/b -uo


Étudier les cas particuliers a/  un+2 - 6un+1 - 9un = 0  (a = -9, b = 6) avec uo = 2,  u1 = 3.
b/  un+2 = 2un+1 - un dans les deux cas suivants :  i/  uo = 0, u1 = 1      ii/  uo = u1 = 1

Cas Δ < 0. L'équation caractéristique n'a pas de solutions réelles (a est alors négatif); elle admet deux solutions complexes conjuguées z et car ses coefficients sont réels.

Finalement :

On s'intéresse ici aux solutions réelles. Les solutions engendrées par zn et n permettent d'extraire par linéarité : zn + n = 2ρncosnθ et i(n - zn) = 2ρnsinnθ afin d'éliminer les parties imaginaires. Les solutions réelles sont alors exprimées sous :

Les suites de terme général ρncosnθ et ρnsinnθ sont linéairement indépendantes (le rapport est tan nθ) : l'espace des solutions est de dimension 2. On a ρ(αcosθ + βsinθ) = u1 avec ρ = |a| et α = uo.


Étudier le cas Δ < 0 suivant : un+2 = 2(un+1 - un)  (a = -2, b = 2) avec uo = 2,  u1 = 3. Rép. : 2ncos(nπ/4).
(on pourra vérifier que toutes les valeurs de un sont entières en distinguant les cas n = 4k+ r, r = 0, 1, 2, 3.

Cette étude se généralise à des suites récurrentes de la forme un+3 = aun + bun+1 + cun+2, un+3 = aun + bun+1 + cun+2, un+4 = aun + bun+1 +... L'équation caractéristique sera du 3è degré, 4è degré, ... et la discussion, juste un peu plus délicate...

Suite de Padovan un+3 = un + un+1 :


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