ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Résolution d'un triangle #2     niveau 2nde/1ère
         Al-Kashi et cas élémentaires ,
résolution #1 résolution #3 , cas général (programme JavaScript)

« Résoudre un triangle », c'est calculer la mesure de ses côtés et de ses angles. En vertu des « cas d'égalité des triangles », trois données suffisent généralement mais il y a des exceptions comme le montre cet exercice pour lequel il existe deux solutions non isométriques (non superposables).

Soit ABC un triangle vérifiant : BC = 7 cm, AB = 5 cm et ^BCA = 39°.

1. Construire un tel triangle (règle graduée, compas, rapporteur). Remarquer qu'il y a deux solutions non superposables. Mesurer les angles (à 1° près) et les côtés à 0,1 près.

2. Résoudre ce triangle, c'est à dire évaluer, par le calcul, AC et les angles ^BAC et ^ABC.

  On rappelle la
formule des sinus dans le triangle plan, souvent attribuée à Al-Kashi mais dont la paternité revient à Al-Biruni :

 

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

1. La construction est simple :

  • Tracer un segment [BC] de longueur 7 cm;

  • Tracer une demi-droite [Cx) telle que ^BCx = 39°; lle portera A.

  • L'arc de cercle de centre B, de rayon 5 cm, coupe [Cx) en deux points A' et A".

Il y a donc deux solutions à ce problème de construction : les triangles A'BC et A''BC. Ces triangles ne sont pas superposables.

  • A'BC : A'C 3,1 cm , ^A' 118° , ^B 23°.

  • A''BC : A''C 7,8 cm , ^A'' 62° , ^B 79°.

il existe bien entendu deux demi-droites [Cx) et [Cy) telles que  ^BCx = ^BCy = 39°. L'usage de [Cy), symétrique de [Cx) par rapport à (BC) conduirait à des solutions symétriques et par conséquent superposables. Dans une résolution de triangles, on néglige ces solutions.

2. Supposons construit un triangle ABC. On lui applique la formule des sinus dans le triangle plan :

AB/sin^C = BC/sin^A, soit ici : 5/sin39° = 7/sin^A

Par conséquent, 5 x sin^A = 7 x sin39°, d'où sin^A puis ^A 61,8° ou ^A 180° - 61,8° = 118,2° car un angle â et son supplémentaire 180° - â ont le même sinus.

  • Dans le cas ^A = 61,8°, on aura :
    ^B = 180° - 39° - 61,8°, soit ^B = 79,2°;

  • Reste à calculer AC : or AC/sin^B = AB/sin^C, d'où AC 7,8 cm.

  • Dans le cas ^A = 118,2°, on aura ^B = 180° - 39° - 118,2°, soit ^B = 22,8°; d'où AC 3,1 cm.

L'usage de la formule d'Al-Kashi s'avérerait ici peu pratique; elle est toujours à éviter si elle conduit à une équation du second degré.  On pourra s'en persuader en étudiant la solution donnée en cet exercice similaire.


© Serge Mehl - www.chronomath.com