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Quadrilatère complet          

Considérons un quadrilatère convexe ABCD qui ne soit ni un trapèze ni un parallélogramme et complétons la figure en prolongeant les côtés [AB] et [CD] d'une part, [AD] et [BC] d'autre part. On obtient les points d'intersection E et F :

Une autre façon de définir un quadrilatère complet est la suivante :

Un quadrilatère complet est la figure constituée par quatre droites coplanaires dont trois quelconques ne sont pas concourantes.

Historiquement, cette figure est étroitement liée à la théorie des transversales de Ménélaüs et de Pappus d'Alexandrie (droites coupant deux côtés d'un triangle) et, plus récemment, à la géométrie projective.

Propriété fondamentale :       

Chaque diagonale est partagée harmoniquement par les deux autres. En particulier, ci-dessous : [B,D,M,N] = -1 ou bien, plus explicitement :

Preuve :

Soit u, le conjugué harmonique de E par rapport à D et C; (Fu) coupe (EB) en v. Le faisceau F(E,u,D,C) est harmonique et il en est donc de même, par intersection de M(E,u,D,C) et M(A,v,A,B).

 

Or (MA) = (MA) et (MD) = (MB). Les deux faisceaux M(E,u,D,C) et M(A,v,A,B) ayant en commun trois droites sont donc confondus (unicité du conjugué harmonique).

 

Ainsi (Mu) = (Mv) : M est aligné avec u et v; c'est dire que F, u, M et v sont alignés : la division (B,D,M,N) est harmonique.

Ce résultat permet de construire facilement, à la règle seule :

Polaire d'un point par rapport à deux droites :

Voici un quadrilatère complet ABCDEF. Ses quatre « côtés » sont (ABC), (AFD), (EFB) et (EDC), ses trois diagonales sont (AE), (CF) et (BD).

Vous pouvez déplacer A et E et les « côtés » du quadrilatère complet.
La division [K,J,A,E] est harmonique.

Quadrangle complet , quadrangle harmonique

 Pour en savoir plus :


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