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Étude d'une famille de droites      niveau 1èreS

Dans un repère orthonormé (O, Ox, Oy), m désignant un nombre réel quelconque, on considère la famille (F) de droites dm définie par l'équation :

dm : mx + (1 - m)y + m - 2 = 0

1. Montrer que les droites passent par un point fixe A dont on précisera les coordonnées.

2. Montrer que toutes les droites passant par A sont éléments de (F) à l'exception d'une seule que l'on précisera et qu'on appellera (δ).

3. Soit Hm la projection orthogonale de O sur dm. Montrer que lorsque m décrit R, Hm se déplace sur un cercle fixe (C) que l'on précisera sans établir son équation.

4. Justifier que Hm décrit le cercle (C) à l'exception d'un point que l'on précisera.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Solution :

1. Montrer que les droites passent par un point fixe A dont on précisera les coordonnées.

L'équation des droites dm peut s'écrire : m(x - y + 1) + y - 2 = 0. En annulant le facteur x - y + 1 dépendant de m, on obtient x - y + 1 = 0 et y - 2 = 0, système indépendant de m, fournissant y = 2 et x = 1. Le point cherché est donc A(1,2).

2. Montrer que toutes les droites passant par A sont éléments de (F) à l'exception d'une seule.

Les droites dm sont dirigées par vm(m - 1,m). Leur coefficient directeur est donc p = m/(m - 1), m ≠ 1. Le cas m = 1 correspond à la droite d'équation d1 : x = 1, parallèle à (Oy) passant par A. Toute droite passant par A non parallèle à (Oy) admet un coefficient directeur p.

Pour p donné, l'équation p = m/(m - 1), d'inconnue m admet l'unique solution m = p/(p - 1) sauf si p = 1. La droite (δ) passant par A de coefficient directeur 1 a pour équation y = x + 1. (F) est donc l'ensemble de toutes les droites passant par A à l'exclusion de (δ).

3. Soit Hm la projection orthogonale de O sur dm. Montrer que lorsque m décrit R, Hm se déplace sur un cercle fixe (C) que l'on précisera sans établir son équation.

Le triangle OHA étant rectangle en Hm et A étant fixe, Hm se déplace sur le cercle fixe (C) de diamètre [OA].

4. Justifier que Hm décrit le cercle (C) à l'exception d'un point que l'on précisera.

Toute droite autre que (δ) passant par A est une droite dm et toute droite passant par A coupe le cercle en un point M tel que ^OMA = 1 droit, exceptions faites des cas :

Donc tout point M de (C) est un point Hm à l'exception de celui qui correspond à (δ). La perpendiculaire à (δ) passant par O a pour équation y = - x. La projection orthogonale M de O sur (δ) est donc donnée par le système y = - x , y = x +1, donc M(-½,½).

En conclusion, tout point de (C) autre que M(-½,½) est un point Hm.

Remarque niveau Bac+1 :

En termes d'enveloppe d'une famille de droites, le point A apparaît comme l'enveloppe des droites dm. Cas (très particulier d'enveloppe). En effet, si l'on dérive par rapport à m l'équation des droites dm, on obtient x - y + 1 = 0, indépendant de m. Ce qui conduit (selon les calculs de 1°) au point A comme enveloppe des droites dm.
 


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