ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Étude d'une famille de droites      niveau 1èreS

Dans un repère orthonormé (O, Ox, Oy), m désignant un nombre réel quelconque, on considère la famille (F) de droites d_m définie par l'équation :

d_m : mx + (1 - m)y + m - 2 = 0

1. Montrer que les droites passent par un point fixe A dont on précisera les coordonnées.

2. Montrer que toutes les droites passant par A sont éléments de (F) à l'exception d'une seule que l'on précisera et qu'on appellera (δ).

3. Soit H_m la projection orthogonale de O sur d_m. Montrer que lorsque m décrit R, H_m se déplace sur un cercle fixe (C) que l'on précisera sans établir son équation.

4. Justifier que H_m décrit le cercle (C) à l'exception d'un point que l'on précisera.

1. Montrer que les droites passent par un point fixe A dont on précisera les coordonnées.

L'équation des droites d_m peut s'écrire : m(x - y + 1) + y - 2 = 0. En annulant le facteur x - y + 1 dépendant de m, on obtient x - y + 1 = 0 et y - 2 = 0, système indépendant de m, fournissant y = 2 et x = 1. Le point cherché est donc A(1,2).

2. Montrer que toutes les droites passant par A sont éléments de (F) à l'exception d'une seule.

Les droites d_m sont dirigées par v_m(m - 1,m). Leur coefficient directeur est donc p = m/(m - 1), m ≠ 1. Le cas m = 1 correspond à la droite d'équation d₁ : x = 1, parallèle à (Oy) passant par A. Toute droite passant par A non parallèle à (Oy) admet un coefficient directeur p.

Pour p donné, l'équation p = m/(m - 1), d'inconnue m admet l'unique solution m = p/(p - 1) sauf si p = 1. La droite (δ) passant par A de coefficient directeur 1 a pour équation y = x + 1. (F) est donc l'ensemble de toutes les droites passant par A à l'exclusion de (δ).

3. Soit H_m la projection orthogonale de O sur d_m. Montrer que lorsque m décrit R, H_m se déplace sur un cercle fixe (C) que l'on précisera sans établir son équation.

Le triangle OHA étant rectangle en H_m et A étant fixe, H_m se déplace sur le cercle fixe (C) de diamètre [OA].

4. Justifier que H_m décrit le cercle (C) à l'exception d'un point que l'on précisera.

Toute droite autre que (δ) passant par A est une droite d_m et toute droite passant par A coupe le cercle en un point M tel que ^OMA = 1 droit, exceptions faites des cas :

• M = A correspondant à la tangente (t) en A au cercle (C), perpendiculaire en A à [OA].
  donc de coefficient directeur p = -½, soit m = 1/3 : M = H_1/3.

• M = O correspondant à m = 2, droite d₂ = (OA).
  de coefficient directeur p = m/(m - 1) = 2 : M = H₂.

Donc tout point M de (C) est un point H_m à l'exception de celui qui correspond à (δ). La perpendiculaire à (δ) passant par O a pour équation y = - x. La projection orthogonale M de O sur (δ) est donc donnée par le système y = - x , y = x +1, donc M(-½,½).

En conclusion, tout point de (C) autre que M(-½,½) est un point H_m.

 ➔  Remarque niveau Bac+1 :

En termes d'enveloppe d'une famille de droites, le point A apparaît comme l'enveloppe des droites d_m. Cas (très particulier d'enveloppe). En effet, si l'on dérive par rapport à m l'équation des droites d_m, on obtient x - y + 1 = 0, indépendant de m. Ce qui conduit (selon les calculs de 1°) au point A comme enveloppe des droites d_m.