ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Besace, aussi appelée courbe de Cramer        » Voir l'animation    
      
» une autre courbe de Cramer

Le mathématicien suisse Gabriel Cramer fait état de cette courbe (1750) dans son « Introduction à l'Analyse des lignes courbes algébriques » :

Dans un repère orthonormé (Ox,Oy), considérons un cercle (c) passant par l'origine et les point A(a,0) et B(0,b) de ce cercle. A tout point P de (c), on associe le point M de même ordonnée et dont l'abscisse est la distance OP.

Le point M, ainsi défini géométriquement décrit le lieu en rouge ci-dessous, obtenu avec Cabri-Géomètre II (a > 0, b < 0) :

Équation cartésienne :

Le cercle (OAB) est centré en J(a/2,b/2), milieu de [AB] et son équation cartésienne peut s'écrire : (x - a/2)2 + (y - b/2)2 = r2. AB  est un diamètre, on a donc 4r2 = (a2 + b2) et, après simplification, l'équation du cercle devient x2 + y2 = ax + by ≥ 0. Notons alors X et Y les coordonnées de M; on a Y = y et X2 = OP2 = x2 + y2  = ax + bY. Par suite : (X2 - bY)2 = a2x2 = a2(X2 - Y2). D'où l'équation cartésienne :

(X2 - bY)2 = a2(X2 - Y2)

Sous cette forme, le passage au carré de X fait oublier que, par définition X est positif. Mais considérons le point M' symétrique de M par rapport à Oy : on a xM'= -X et yM' = Y et la courbe, réunion des lieux de M et M', vérifie l'équation ci-dessus.

   La besace est ainsi une courbe algébrique (fermée) du 4ème degré : c'est une quartique. Le nom de besace lui fut donné car elle ressemble alors à un tel petit sac à deux poches que l'on portait autour de la ceinture.


La besace vue par Graphmatica (a = 4, b = 3, r = 5/2)

Équation paramétrique :

La courbe est unicursale, c'est à dire représentable paramétriquement sous la forme x = f(t), y = g(t). En considérant l'équation paramétrique du cercle, x - a/2 = r × cos t  et  y - b/2 = r × sint, on a : X = (ax + by)1/2 et Y = y, soit :

X = (2r2 +  ar.cos t + br.sint)1/2 , Y = b/2 + r.sint ,  t∈[0,2π]

   En posant u = tan(t/2), on pourra exprimer X2 et Y sous forme de fonctions rationnelle de u. » fonction tan  

Génération :

La besace est générée ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :



Si votre navigateur accepte les applets Java :
Pour générer la courbe, déplacer P; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java


On remarquera que si b = 0, on obtient un joli nœud papillon qui n'est autre qu'une lemniscate de Gerono :


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