ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Besace, aussi appelée courbe de Cramer         animation      
        
une autre courbe de Cramer

Le mathématicien suisse Gabriel Cramer fait état de cette courbe (1750) dans son « Introduction à l'Analyse des lignes courbes algébriques » :

Dans un repère orthonormé (Ox,Oy), considérons un cercle (c) passant par l'origine et les point A(a,0) et B(0,b) de ce cercle. A tout point P de (c), on associe le point M de même ordonnée et dont l'abscisse est la distance OP.

Le point M, ainsi défini géométriquement décrit le lieu en rouge ci-dessous, obtenu avec Cabri-Géomètre II :

Recherche de l'équation cartésienne et paramétrique :

L'équation cartésienne du cercle (OAB) peut s'écrire :

(x - a/2)2 + (y - b/2)2 = r2

Ce cercle passant par O, on a r2 = (a2 + b2)/4 et l'équation devient x2 + y2 = ax + by. Notons alors X et Y les coordonnées de M; on a Y = y et :

X2 = x2 + y2 = ax + by = ax + bY

  Donc :

(X2 - bY)2 = a2x2 = a2(X2 - Y2)

  D'où l'équation cartésienne :

(X2 - bY)2 = a2(X2 - Y2)

Le passage au carré de X fait oublier que, par définition X est positif; mais considérons le point M' symétrique de M par rapport à Oy : on a xM'= -X et yM' = Y et la courbe, réunion des lieux de M et M' vérifie l'équation ci-dessous. Le nom de besace lui fut donné car elle ressemble alors à un tel petit sac à deux poches que l'on portait autour de la ceinture :

La besace est une courbe algébrique (fermée) du 4ème degré : c'est une quartique. Elle est unicursale, c'est à dire représentable paramétriquement.

En prenant x = a/2 + r.cos t  et  y = b/2 + r.sint comme équation paramétrique du cercle, lieu de P, on a :

X = (ax + by)1/2  ,  Y = y

Ci-dessous  : a = 4, b = 3, r = 5/2, t variant de 0 à 2π :

X = (12,5 + 10.cos t - 7,5.sin t)1/2 , Y = -1,5 + 2,5.sin t
 

= génération de la besace : déplacer P; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure =


On remarquera que si b = 0, on obtient un joli nœud papillon qui n'est autre qu'une lemniscate de Gerono :


© Serge Mehl - www.chronomath.com