ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Besace, aussi appelée courbe de Cramer        » Voir l'animation            » une autre courbe de Cramer

Le mathématicien suisse Gabriel Cramer fait état de cette courbe (1750) dans son « Introduction à l'Analyse des lignes courbes algébriques » :

Dans un repère orthonormé (Ox,Oy), considérons un cercle (c) passant par l'origine et les point A(a,0) et B(0,b) de ce cercle. A tout point P de (c), on associe le point M de même ordonnée et dont l'abscisse est la distance OP.

Le point M, ainsi défini géométriquement décrit le lieu en rouge ci-dessous, obtenu avec Cabri-Géomètre II (a > 0, b < 0) :

Le cercle (OAB) est centré en J(a/2,b/2), milieu de [AB] et son équation cartésienne peut s'écrire : (x - a/2)² + (y - b/2)² = r². AB  est un diamètre, on a donc 4r² = (a² + b²) et, après simplification, l'équation du cercle devient x² + y² = ax + by ≥ 0. Notons alors X et Y les coordonnées de M; on a Y = y et X² = OP² = x² + y²  = ax + bY. Par suite : (X² - bY)² = a²x² = a²(X² - Y²). D'où l'équation cartésienne :

(X² - bY)² = a²(X² - Y²)

Sous cette forme, le passage au carré de X fait oublier que, par définition X est positif. Mais considérons le point M' symétrique de M par rapport à Oy : on a x_M'= -X et y_M' = Y et la courbe, réunion des lieux de M et M', vérifie l'équation ci-dessus.

 ➔  La besace est ainsi une courbe algébrique (fermée) du 4ème degré : c'est une quartique. Le nom de besace lui fut donné car elle ressemble alors à un tel petit sac à deux poches que l'on portait autour de la ceinture.

La besace vue par Graphmatica (a = 4, b = 3, r = 5/2)

La courbe est unicursale, c'est à dire représentable paramétriquement sous la forme x = f(t), y = g(t). En considérant l'équation paramétrique du cercle, x - a/2 = r × cos t  et  y - b/2 = r × sint, on a : X = (ax + by)^1/2 et Y = y, soit :

X = (2r² +  ar.cos t + br.sint)^1/2 , Y = b/2 + r.sint ,  t∈[0,2π]

 ➔  En posant u = tan(t/2), on pourra exprimer X² et Y sous forme de fonctions rationnelle de u. » fonction tan  

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Pour générer la courbe, déplacer P; pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure

On remarquera que si b = 0, on obtient un joli nœud papillon qui n'est autre qu'une lemniscate de Gerono :