ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Le théorème de Ptolémée (usage de l'inversion)       la démonstration de Ptolémée

Dans un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés :

AC.BD = AB.DC + AD.BC

Preuve :       

Nous faisons appel ici à l'inversion, transformation géométrique involutive (non affine). On suppose connu que l'inverse d'un cercle passant par le pôle O d'inversion est une droite parallèle à la tangente à ce cercle au point O :

Inverse d'un cercle passant par le pôle O d'inversion :

Un petit lemme sur la distance de deux points images nous est nécessaire :

Soit un segment [A,B] dont l'image par l'inversion de pôle O, de rapport k est [A',B']. Dans ces conditions :

En effet, par définition de l'inversion, on a OA.OA' = OB.OB' = | k |. C'est dire que le quadrilatère ABB'A' est inscriptible. Consulter éventuellement puissance d'un point par rapport à un cercle.

L'angle ^BB'A' a pour supplément ^BAA' et par conséquent ^OAB = ^OB'A'. Les triangle OAB et OA'B' sont donc semblables et on peut alors écrire :

 

On exprime alors A'B' en utilisant la première égalité et multipliant haut et bas par OA, on obtient la relation annoncée.

Considérons maintenant un quadrilatère ABCD inscrit dans le cercle (c) et une inversion de pôle A, de puissance k. Soit (T) la tangente à (C) au point A. L'image de (c) par cette inversion est une droite (c') parallèle à (T) et portant les points B', C' et D'.

 Tout parallélisme apparent de (CD) avec (C'D') est fortuit, involontaire et sans fondement...

On a : B'D' = B'C' + C'D'

Appliquons notre lemme :

Simplifions par | k | et multiplions par AB.AC.AD :

AC.BD = BC.AD + AB.CD

C'est bien le théorème de Ptolémée.


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