ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Cercles tangents deux à deux #3      TD 3ème        »  #1 , #2        » Tangente au cercle (cours)

On considère trois cercles de même rayon r tangents deux à deux. Ces cercles, tracés en bleu, admettent deux cercles qui leur sont tangents : extérieurement en rouge, intérieurement en vert, de rayons respectifs OP et OT :

On demande de calculer les rayons OP et OT de ces deux cercles.

Remarques :  

1. Pour la construction des trois cercles de même rayon tangents deux à deux, on part d'un cercle de centre A de rayon r. On place un point M sur ce cercle. Soit C le symétrique de A par rapport à M. Le cercle de centre C passant par M est tangent en M au cercle de centre A (» tangente au cercle). On construit B tel que ABC soit équilatéral. Le cercle de centre B passant par le milieu N de [AB] est le troisième cercle cherché.

2. ABC est équilatéral de côté 2r. On pourra supposer pour simplifier que r = 3 cm et admettre que O, point de concours des médiatrices, orthocentre et centre de gravité du triangle équilatéral ABC est le centre commun aux deux cercles étudiés.

A propos du point O :   

Les 3 cercles de rayon r ayant même rayon, le triangle ABC est équilatéral, de côté 2r (= 6 si r = 3).

Au point de tangence M, la tangente commune aux cercles de centres A et C est perpendiculaire aux rayons [AM] et [CM]. (BM) est ainsi à la fois hauteur et médiane issues de B dans le triangle ABC, c'est à dire la médiatrice de [AC], axe de symétrie de la figure devant donc contenir les centres des deux cercles tangents intérieurement et extérieurement.

En raisonnant de façon analogue sur les deux autres paires de cercles, il vient que si on note O le point de concours des médiatrices, également orthocentre et centre de gravité du triangle équilatéral ABC, ce point est le centre commun à nos deux cercles.

La demi-droite [OB) coupe le cercle de centre B en T et P. Le rayon du cercle tangent extérieurement est OP = OB + BP.

Dans le triangle ABC, la hauteur BM mesure BC × sin60° = 2r × √3/2 = r√3. Or, les médianes se coupent au tiers à partir de leur pied. Donc OB = 2r√3/3. Finalement :

• OP = 2r√3/3 + r. Si r = 3, OP = 2√3 + 3  (soit 6,5 cm à 0,1 près).

• OT = OP - 2r = 2r√3/3 - r. Si r = 3, OT = 2√3 - 3  (soit 0,5 cm à 0,1 près).