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Résolution complète de l'équation du 3è degré                  Pas de théorie, je veux utiliser le programme JavaScript on line...

Pour sa résolution complète, en dehors de cas particulièrement simples, l'équation du 3e degré nécessite l'usage des nombres complexes et de la trigonométrie. On ramène le cas général à la forme réduite :

voisine de l'approche historique de Ferro et de Cardan :

Soit l'équation :

Divisons par a et posons x = X - b/3a. On se ramène alors à la forme (e2) :  X³ + pX + q = 0  avec :

La fonction polynomiale f(X) = X³ + pX + q est de degré impair, elle admet donc au moins un zéro réel, que nous appellerons ici le zéro certain.

•si p = 0, il n'y a qu'une seule racine; elle est réelle, c'est la racine cubique de - q.  

• si, de plus q = 0, X = 0 : - b/3a est une solution triple car on peut écrire :

C'est le cas par exemple de l'équation x³ + 3x² + 3x + 1 = 0, c'est à dire (x + 1)³ = 0, pour laquelle -1 est racine triple.

• si q = 0, p 0, on se ramène au second degré par factorisation : X(X² + p) = 0.

Dans le cas général, posons dans (e2) : X = u + v et on développe l'expression obtenue : en imposant la condition 3uv = -p, l'équation (e2) prend alors la forme système équivalente :

                        u³ + v ³ = -q  et  u ³.v ³ = -p³/27          (e3)

Il s'agit donc de rechercher deux nombres connaissant leur somme et leur produit : la résolution de (e2) est ramené au second degré. Posons désormais D = q²/4 + p³/27.

♦  Cas D > 0 :                 

l'équation (e2) X³ + pX + q = 0 admet l'unique solution réelle :

       (x1)

Si l'équation est donnée, comme souvent eu égard, historiquement, à Cardan, sous la forme x³ = px + q, il faut alors changer p et q en -p et -q et la formule devient alors :

Cette formule, dite de Cardan, résout l'équation du troisième degré lorsque p et q sont des entiers positifs (forme primitive du problème).

♦  Cas D < 0 :                 

la formule de Cardan semble en défaut, mais comme le fit Bombelli sur des cas particuliers, remarquons que D peut se mettre sous la forme -z² = z² × (-1) et n'hésitons pas alors à poser provisoirement :

la notation (usage d'un radical) n'est pas encore utilisée par Bombelli qui utilise un R comme la plupart des algébristes de son époque : notations de Bombelli , Rudolff.

L'application de la formule de Cardan amène à une solution X de la forme :

Cherchons un nombre dont le cube serait s + z sous la même forme a + b. Il vient, puisque ()² = -1 :

a³ - 3ab² + (3a²b - b³) = s + z

Il faut donc avoir a³ - 3ab² = s et 3a²b - b³ = z et pour faire de même avec a - z, il suffirait de changer b en -b : la partie réelle est invariante.

La solution X serait ainsi de la forme : (a + b) + (a - b), soit x = 2a. C'est un nombre réel : la formule de Cardan fournit donc en fait systématiquement le zéro certain.

Sachant aujourd'hui que tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques distinctes, on en déduit que si D est négatif, l'équation du 3e degré possède trois solutions réelles distinctes.

Revenons alors à (e3) où u³ et v³ sont solutions d'une équation du second degré en Z. Un calcul simple conduit à :

avec i² = -1. Les nombres u³ et v³ sont donc complexes conjugués. Posons alors :

Vu que D < 0 , on a p < 0 et :

Par conséquent, l'équation (e2) admet trois solutions réelles X_k (éventuellement égales suivant la valeur de q).

L'équation initiale (e1) admet ainsi trois solutions x_k = X_k - b/3a.

♦  Cas D = 0 :                 

O a ici q²/4 = - p³/27 et, nécessairement p ≤ 0 : on est enclin à envisager l'existence d'une solution double voire triple. Si tel est le cas, cette solution annule 3X² + p, expression dérivée de l'équation. On vérifie qu'il en est ainsi et que la 3ème solution est alors :

• 

•  0 si p = 0, donc si q = 0 : X₁ = X₂ = X₃ = 0, on retrouve la solution triple évoquée ci-dessus.

 Pour tester le programme, entrez les coefficients de l'équation

• pi et e sont compris par le programme respectivement pour p (3,141592653...) et la base des logarithmes népériens (2,7182818...)

• on peut aussi entrer des nombres non calculés comme sqrt(2) pour 2 ou log(2) pour le logarithme népérien de 2, etc.

Un cas délicat où les racines sont "peu" séparées :                       

• a,b,c,d = 1 000 000, -111 000, 1 110 , -1

Trois solutions : 1/1000 , 1/100 , 1/10. Ici, l'ordinateur "trouve" D = -5,95...10^-11. En fait D = 0 et l'arrondi à 10^-12 près rétablit l'ordre normal des choses...

Cas litigieux, généralement mal résolu par l'ordinateur :                 

• a,b,c,d = 100 000 000, 299 980 000, -59 999 , 3

Ici, avec une "bonne" machine, vous devriez trouver trois solutions dont une solution double: 1/10 000 , 1/10 000 et -3. Cependant : si vous remplacez d = 3 par d = 1, l'ordinateur pourra trouver encore -3 comme solution et deux autres égales à 0,00018165... et 0,0000183465, ce qui est tout à fait scandaleux !

Et si vous remplacez d = 3 par d = 10 ou d = 13, l'ordinateur trouvera encore -3 comme seule solution, ce qui est faux (erreur grossière d'arrondi).

 A noter que l'image par le polynôme donné de x = -2,9999 est égale à 90000 alors qu'en x = -3, il s'annule. Évidemment, tout cela peut paraître marginal, mais il ne s'agit pas de résoudre des équations dont on connaît les solutions. Alors c'est bien ennuyeux... Ceci montre qu'il faut toujours, suite à un résultat machine, se poser la question de la vraisemblance du résultat exprimé.

Équation du 3ème degré selon Viète :

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