ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Bifolium asymétrique       interprétation géométrique bifolium symétrique

Cette courbe possède deux "feuilles" asymétriques. Son équation en coordonnées polaires est de la forme :

r = (a.cos t + b.sin t)cos2 t


Ci-dessus : a = 1, b = 4

Le bifolium asymétrique est une courbe algébrique de degré 4 (quartique) : en effet, en passant aux coordonnées paramétriques, on a :

On constate que l'on retrouve ax + by dans le crochet. En définitive, l'équation cartésienne du bifolium asymétrique est :

(x2 + y2)2 = x2(ax + by)

Une interprétation géométrique de cette courbe :

Dans un repère orthonormé, considérons les points A(a,0) et B(a,b). Soit C un point du cercle (c) de diamètre [OB]. Soit H le projeté orthogonal de C sur l'axe des abscisses et M le projeté orthogonal de H sur (OC).

Quel est l'ensemble des points M lorsque C décrit (c) ?

Posons ^AOC = t. On a, en mesure algébrique :

OM = OH.cos t = OC.cos2t

et si A' est le projeté orthogonal de A sur (OC), il vient :

    OA' = a.cos t  et  A'C = b.sin t  car B se projette en C et (AB)// (CH)

Donc, en coordonnées polaires :

r = OM = (a.cos t + b.sin t).cos2t

M décrit donc le bifolium asymétrique étudié ci-dessus. La petite boucle est ici très petite car a est numériquement proche de b.

  folium simple, bifolium, folium de Descartes, quadrifolium


© Serge Mehl - www.chronomath.com