ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Théorème des
résidus |
La théorie des résidus et des fonctions de variable complexe, dont la paternité revient à Cauchy, est très ...complexe. On aborde ici une application au calcul des intégrales en se plaçant dans un cas simple d'énoncé du théorème des résidus.
Considérons dans le plan complexe K, une fonction holomorphe (dérivable au sens complexe) sauf en un nombre fini de points z1, z2, ... de K qui sont des pôles pour la fonction f : fonction méromorphe. On note (C) un contour inclus dans K (courbe fermée sans point double et continument différentiable) entourant un domaine D contenant ces pôles (ci-dessous deux pôles).
Dans ces conditions, f est développable en série de Laurent au voisinage de chaque pôle zk : il existe pour chacun des zk un voisinage Vk de celui-ci et une suite (an,k) telle que, pour tout z de Vk :
Notons que les an,k pour n négatifs, ne peuvent pas être tous nuls du fait que zk est un pôle de f. En particulier, le coefficient a-1,k est non nul. C'est le résidu de f au point zk.
Le théorème des résidus, s'écrit alors, avec les hypothèses ci-dessus :
»
Intégrale complexe| Un lemme, très utile, dû à Jordan : |
Si f est continue sur un cercle de centre zo, de rayon R et si la limite de |(z - zo) × f(z)| est nulle lorsque R tend vers l'infini, alors l'intégrale sur tout arc de ce cercle est nulle.
∗∗∗ Exemple d'application :
Le bel exemple suivant, emprunté au Cours de mathématiques de Jean Bass, montre tout l'intérêt du théorème des résidus dans le calcul d'une intégrale pour laquelle on ne sait pas facilement (ou pas du tout) trouver de primitive. Soit à calculer :
Le calcul de cette intégrale exige une décomposition pénible en éléments simples ou l'usage des fonctions eulériennes.
Notons J l'intégrale de f(z) = 1/(z4 + 1) sur le contour constitué du demi-cercle (c) supérieur centré en 0 de rayon R > 1 et du segment réel [-R,+R].
Ce contour contient deux pôles de f : les racines 4èmes de -1 d'ordonnées positives, que nous notons ici z1 et z2 qui sont solutions de l'équation z4 = -1 :
z1 = √2(1 + i)/2 et z2 = √2(-1 + i)/2
Par linéarité et en faisant tendre R vers l'infini, on a, en notant r1 et r2 les résidus relatifs à z1 et z2 :
2I car, par parité, l'intégrale de f sur R tout entier est le double de I.
D'après le théorème de Jordan énoncé ci-dessus, l'intégrale K est nulle (les conditions sont clairement remplies) et par suite I = iπ(r1 + r2). Reste à calculer les résidus r1 et r2 .
Pour ce faire, remarquons un résultat général : si nous développons f en série de Laurent, z1 et z2 sont des pôles simples. Ainsi, en raisonnant sur z1, on a :
donc en multipliant par (z - z1) et en faisant tendre z vers z1, on voit que :
le résidu r1 = a-1,1 n'est autre que la limite en z1 de (z - z1)f(z)
Dans notre cas, f(z) = 1/(z4 + 1), on peut calculer r1 en
appliquant la règle
de l'Hospital puisque z - z1 et
z4 + 1 s'annulent en z1.
D'où
r1 = 1/4z13 = -z1/4
puisque z14 = - 1.
Un calcul analogue fournit r2 = -z2/4. Par suite r1 + r2 = -2ri/4 = -ri/2, ce qui fournit I = iπ(r1 + r2) = -iπ(z1 + z2)/4. Finalement :
➔ Pour en savoir plus :