ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Développée du deltoïde        animation

Le deltoïde s'obtient comme lieu d'un point M d'un cercle de rayon r roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon R = 3r. Son équation, lorsque r = 1 est alors :

x = 2cos t + cos 2t , y = 2sin t - sin 2t

Les résultats concernant la développée d'une courbe plane, fournissent l'équation de sa développée :

X = x - n2y'/d  et  Y = y + n2x'/d ,   d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2

avec d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2. Un petit calcul montre que d = -n2/2 = 8(1 - cos3t). Donc X = x + 2y' et Y = y - 2x', soit :

X = 6cos t - 3cos 2t , Y = 6sin t + 3sin 2t

Et voici le deltoïde (en rouge) et sa développée (en bleu) vues par le logiciel Graphmatica :

On a tracé en vert les portions de droites d'équation y = ±x3 : la courbe est manifestement un deltoïde obtenue par similitude de centre O, de rapport 3, d'angle π/3. Vérifions cela. Nous avons :

X = 6cos t - 3cos 2t = 3(2cos t - cos 2t), Y = 6sin t + 3sin 2t = 3(2sin t + sin 2t)

L'homothétie semble manifestement de rapport 2. Si nous montrons que la courbe d'équation X = 2cos t - cos 2t, Y = 2sin t + sin 2t est l'image de notre deltoïde par rotation de π/3, c'est gagné.

L'expression analytique d'une rotation plane de centre O, d'angle π/3, cas particulier de similitude directe, est donnée par la relation matricielle :

C'est dire que X = (x - y3)/2  et Y = (x3 + y)/2. Calculons alors x - y3 et x3 + y lorsque x et y désignent les coordonnées d'un point de notre deltoïde :

  • x - y3 = 2cos t + cos 2t - 23sin t + 3sin 2t = 2(cos t  - 3sin t) + (cos 2t + 3sin 2t), ce qui peut s'écrire :
    x - y3 = 4(½cos t - ½3sin t) + 2(½cos 2t + ½3sin 2t) = 4cos(t + π/3) + 2cos(2t - π/3)
    (x - y3)/2 = 2cos(t + π/3) + cos(2t - π/3)

Après avoir posé t + π/3 = T, on obtient 2t - π/3 = 2T - π, d'où  X = 2cosT - cos2T.

  • Un calcul semblable conduit  sans difficultés à Y = 2sinT + sin2T.

Génération de la développée du deltoïde :


Clic
dans figure = arrêter. Double-clic = effacer/relancer. Points déplaçables : T. Normales (TM) en  jaune

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