ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Développée du
deltoïde |
 |
Le deltoïde s'obtient comme lieu d'un point M d'un cercle de rayon r roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon R = 3r. Son équation, lorsque r = 1 est alors :
x = 2cos t + cos 2t , y = 2sin t - sin 2t
Les résultats concernant la développée d'une courbe plane, fournissent l'équation de sa développée :
X = x - n2y'/d et Y = y + n2x'/d , d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2
avec d = x'y" - x"y' et n2 = x'2 + y'2. Un petit calcul montre que d = -n2/2 = 8(1 - cos3t). Donc X = x + 2y' et Y = y - 2x', soit :
X = 6cos t - 3cos 2t , Y = 6sin t + 3sin 2t
Et voici le deltoïde (en rouge) et sa développée (en bleu) vues par le logiciel Graphmatica :
On a tracé en vert les portions de droites d'équation y = ±x√3 : la courbe est manifestement un deltoïde obtenue par similitude de centre O, de rapport 3, d'angle π/3. Vérifions cela. Nous avons :
X = 6cos t - 3cos 2t = 3(2cos t - cos 2t), Y = 6sin t + 3sin 2t = 3(2sin t + sin 2t)
L'homothétie semble manifestement de rapport 2. Si nous montrons que la courbe d'équation X = 2cos t - cos 2t, Y = 2sin t + sin 2t est l'image de notre deltoïde par rotation de π/3, c'est gagné.
L'expression analytique d'une rotation plane de centre O, d'angle π/3, cas particulier de similitude directe, est donnée par la relation matricielle :
C'est dire que X = (x - y√3)/2 et Y = (x√3 + y)/2. Calculons alors x - y√3 et x√3 + y lorsque x et y désignent les coordonnées d'un point de notre deltoïde :
x - y√3 =
2cos t + cos 2t - 2√3sin
t + √3sin
2t = 2(cos t -
√3sin t) +
(cos 2t + √3sin 2t),
ce qui peut s'écrire :
x - y√3 =
4(½cos t - ½√3sin
t) + 2(½cos 2t + ½√3sin
2t) = 4cos(t + π/3)
+ 2cos(2t - π/3)
(x - y√3)/2 = 2cos(t + π/3) +
cos(2t - π/3)
Après avoir posé t + π/3 = T, on obtient 2t - π/3 = 2T - π, d'où X = 2cosT - cos2T.
Un calcul semblable conduit sans difficultés à Y = 2sinT + sin2T.
|
Génération de la développée du deltoïde : |
Si votre navigateur accepte les applets
Java
(»
extension CheerpJ
)
:
Clic
dans figure
= arrêter. Double-clic
= effacer/relancer. Vous pouvez aussi
déplacer T manuellement.
Autres développées et développantes dans ChronoMath : »