ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Projection (ou perspective) centrale plane #1            » Un exemple plus subtil de perspective centrrale : x' = 3x/(x + y) , y' = 3y/(x + y)

Voici un cas très simple de perspective plane. Cet exemple montre en particulier que la projection centrale (réduite ici dans le plan), également appelée perspective centrale, ne conserve pas les milieux : ce n'est pas une application affine.

Dans un repère orthonormé d'origine O, on considère la perspective p de centre O sur la droite (d) d'équation x = 3. C'est dire, par définition, que l'image M' d'un point M du plan non situé sur (Oy) est l'intersection de (OM) avec la droite (d).

1. On note M'(x',y') de M(x,y) par p. En utilisant la colinéarité des vecteurs OM et OM' et la propriété de Thalès, montrer que l'expression analytique de cette perspective est :

x' = 3 , y' = 3y/x  (pour tout x non nul) 

On voit que l'ordonnée y' de M' est une fonction homographique de x et y (et x' en est un cas particulier) : p n'est pas une application affine.

2. Quels sont les points invariants par p, c'est à dire les points M tels que p(M) = M ?

3. En considérant le segment [AB] avec A(4;0) et B(2;2), vérifier que cette transformation ne conserve pas le milieu en montrant que le milieu I' de [A'B'] n'est pas l'image du milieu I de [AB].

Solution :   

1.  Si M se projette en H sur (Ox), on a, en vertu de la propriété de Thalès, OA'/OH = A'M'/ HM, soit 3/x = y'/y si x et y non nuls.

M ne se situant pas sur (Oy), on a x non nul. Le cas y = 0 conduit à y' = 0, donc M' = A'(3;0). Finalement y' = 3y/x pour tout x ≠ 0 :

M' = p(M), M(x,y) ∉ (Ox) ⇔ M'(3,3y/x)

2. M est invariant par f si et seulement si M = M'. Les points invariants par f sont les solutions du système x = x' et y = y' avec la condition x non nul. Ce qui conduit à x = 3 et y indéterminé. L'ensemble des points invariants est donc (d).

3.  A(4;0) a pour image A'(3;0). B(2;2) a pour image B'(3;3). Le milieu de [AB] est I(3;1) qui a donc pour image lui-même; ce n'est pas le milieu de [A',B'] qui est I'(3;3/2) : on voit là encore que la perspective p n'est pas une application affine du plan euclidien.