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Étude d'une cubique #1bis       niveau Sup       » #1 (version y = f(x) , #2 , index étude de courbes

Voici une courbe algébrique du 3è degré (cubique) d'équation :

x³ - y³ - x² = 0

 ➔  On étudie la courbe sous cette forme implicite puis au moyen d'une expression paramétrée. L'ordonnée y pouvant s'exprimer facilement en fonction de x, on pourra consulter la version #1 de cet exercice étudiant la courbe sous la forme explicite y = f(x) ce qui s'avère souvent plus simple lorsque cela est possible. La notation ³_√ désigne la racine cubique.

Étude sous forme implicite :   

Recherchons les points singuliers éventuels : nous avons ici f(x,y) = x³ - y³ - x²

• ∂f/∂x = 3x² - 2x = x(3x - 2)  |  ∂f/∂y = - 3y²

Un point double apparaît donc à l'origine O(0,0). Selon un théorème de Cramer, l'équation de la tangente en O est obtenue en annulant les termes de plus bas degré dans l'équation de la courbe. Ce qui se réduit ici à x² = 0. Par suite, la tangente en O à la courbe est l'axe des ordonnées. Nous avons y³ = x³ -  x²; dérivons par rapport à x :

 3y²y' = 3x² -  2x = x(3x - 2)      (1)

• y' garde le signe de x(3x - 2) en s'annulant en x = 0 et x = 2/3.

• y croit strictement sur ]-∞,0], atteint un maximum local en x = 0, décroit strictement sur ]0,2/3] puis croit strictement;

• Le point double O(0,0) est ainsi un point de rebroussement à tangente "verticale";

• y passe par un minimum local en x = 2/3 de valeur - ³_√4/3 ≅ -0,529 (point M sur le graphique).

• y =  x³ -  x² = x²(x - 1) s'annule en x = 0 et x = 1;

• Selon (1), y' = (3x² -  2x)/y². Lorsque x tend vers 1, 3x² -  2x tend vers 1 et y tend vers 0 : la tangente en A(1,0) est "verticale";

• On est en droit de soupçonner une inflexion en A(1,0). Dérivons (1) par rapport à x : 6yy'² + 3y²y" = 6x - 2. Au voisinage de x = 1, x ≠ 1,  y" est du signe de 4 - 6yy'²  et, selon (1), 3y²y' ~ 1. Par suite y' ~ 1/(3y²) et y" garde le signe de 4 - 2/(3y³). Lorsque x < 1, on a y < 0 donc y" > 0 : la courbe est convexe. Lorsque x tend vers 1 par valeurs supérieures, y tend vers 0 par valeurs supérieures, donc  y" < 0 : la courbe est concave. La courbe admet un point d'inflexion en A(1,0);

• Vu que y³ = x³(1 - 1/x), lorsque x tend vers l'infini, y tend également vers l'infini avec le signe de x : la courbe admet deux branches infinies. Le rapport y³/x³ tend vers 1, il en est donc de même de y/x : les branches admettent [y = x] comme direction asymptotique. S'il y a asymptote, son équation est de la forme y = x + b. Afin de calculer b, on revient au calcul classique de la forme explicite fournissant b = 1/3.

Étude sous forme paramétrée :    

La courbe est unicursale en vertu de la propriété p1/ relative aux équations implicites des courbes algébriques. En posant y = tx, on obtient immédiatement x = 1/(1 - t³), d'où y = t/(1 - t³), t ≠ 1

• x'(t) = - 3t²/(1 - t³)², y'(t) = (1 + 2t³)/(1 - t³)²;

• x' s'annule en t = 0 et reste strictement positif partout ailleurs; y' étant non nul, la courbe admet une tangente "verticale" au point correspondant, c'est à dire A(1,0).

• y' s'annule en t_m = - 1/³_√2 ≅ 0,794. t →2t³ étant strictement croissante, on a y' < 0 pour t < t_m , y' > 0 sinon. En t = t_m, la courbe passe par un minimum local en M(2/3, - ³_√4/3) avec tangente horizontale. N.B. - ³_√4/3 ≅ -0,529;

• Lorsque t tend vers l'infini : x ~ -1/t³ et y ~ -1/t² tendent vers 0;

• Lorsque t tend vers 1 : 1 - t³ tend vers 0 et garde le signe de 1 - t; x et y tendent vers l'infini avec le même signe; il y a donc deux branches infinies. Le rapport y(t)/x(t) = t tend vers 1. les branches admettent [y = x] comme direction asymptotique. S'il y a asymptote, son équation est de la forme y = x + b. Or y - x = (t - 1)/(1 - t^3) = -1/(1 + t + t^2) tendant vers - 1/3 : la courbe admet la droite d'équation y = x - 1/3 comme asymptote oblique.