ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une cubique #1bis       niveau Sup       » #1 (version y = f(x) , #2 , index étude de courbes

Voici une courbe algébrique du 3è degré (cubique) d'équation :

x3 - y3 - x2 = 0

   On étudie la courbe sous cette forme implicite puis au moyen d'une expression paramétrée. L'ordonnée y pouvant s'exprimer facilement en fonction de x, on pourra consulter la version #1 de cet exercice étudiant la courbe sous la forme explicite y = f(x) ce qui s'avère souvent plus simple lorsque cela est possible. La notation 3désigne la racine cubique.

Étude sous forme implicite :   

Recherchons les points singuliers éventuels : nous avons ici f(x,y) = x3 - y3 - x2

Un point double apparaît donc à l'origine O(0,0). Selon un théorème de Cramer, l'équation de la tangente en O est obtenue en annulant les termes de plus bas degré dans l'équation de la courbe. Ce qui se réduit ici à x2 = 0. Par suite, la tangente en O à la courbe est l'axe des ordonnées. Nous avons y3 = x3 -  x2; dérivons par rapport à x :

 3y2y' = 3x2 -  2x = x(3x - 2)      (1)

Étude sous forme paramétrée :    

La courbe est unicursale en vertu de la propriété p1/ relative aux équations implicites des courbes algébriques. En posant y = tx, on obtient immédiatement x = 1/(1 - t3), d'où y = t/(1 - t3), t ≠ 1



© Serge Mehl - www.chronomath.com