ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Échelles croisées  #3       niveau TerS / SUP     (zéro approché d'un polynôme du 4è degré)     variantes : fonction irrationnelle (TerS) , propriété de Thalès (niveau 3è)

Deux échelles, DA et BC de longueurs respectives 2m et 3m, placées entre deux murs, se croisent à 1 m du sol. Quelle est la distance BD entre les deux murs ?

Cet exercice d'aspect élémentaire ne l'est pas vraiment ! On est conduit à une équation du 4ème degré que l'on résoudra par une méthode d'approximation : dichotomie ou méthode de Newton.

La figure ci-dessous ne respecte pas les dimensions données et bien que d'apparence élémentaire, cette petite colle conduit à une équation du 4è degré...

Posons, pour simplifier les écritures :

• a = AB
• b = CD
• h = OO' = 1

On a AD = 2 et BC = 3.

Selon le théorème de Thalès, appliqué dans les triangles BAD et BCD coupés par (OO') parallèle à (AB) et à (CD), on peut écrire :

• d'une part : h/a = DO'/d;
• d'autre part : h/b = BO'/d;

Par addition de ces deux dernières égalités, en remarquant que BO' + DO' = d et sachant que h = 1, on a donc : 1/a + 1/b = 1, soit :

Mais selon le théorème de Pythagore, appliqué dans les triangles BAD et BCD, on a :

• a² + d² = 4;
• b² + d² = 9;

et, par différence :

On reporte cette valeur dans ab = a + b; on isole le radical et on élève au carré, loisible sans condition, sinon de remarquer que a doit être supérieur à 1 et inférieur à 2. On obtient l'équation :

Cette équation du 4è degré est facilement résolue par dichotomie ou par la méthode des tangentes de Newton en séparant au préalable les zéros par une méthode graphique :

Si l'on pose :

on a :

Les zéros de cette fonction dérivée peuvent également être étudiés graphiquement. Or :

f "(a) = 12a² - 12a + 10

Ce trinôme de discriminant négatif n'a pas de solution : il garde le signe de 12 > 0.

Il apparaît ainsi que est strictement croissante. Étant polynomiale du 3è degré cette fonction dérivée s'annule donc en un unique point a_o que l'on pourra calculer par la formule de Cardan ou approcher par encadrement dichotomique : a_o @ 1,2.

Mais f(0) = 5 et f(1) = -1 < 0. Ce qui permet d'affirmer que le zéro cherché existe au-delà de 1,2. Le tracé ci-contre, obtenu au moyen d'un logiciel, confirme cette étude. De a @ 1,5761 , on déduit d @ 1,23 m.