ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Échelles croisées  #3       niveau TerS / SUP     (zéro approché d'un polynôme du 4è degré)
   
variantes : fonction irrationnelle (TerS)propriété de Thalès (niveau 3è)

Deux échelles, DA et BC de longueurs respectives 2m et 3m, placées entre deux murs, se croisent à 1 m du sol. Quelle est la distance BD entre les deux murs ?

Cet exercice d'aspect élémentaire ne l'est pas vraiment ! On est conduit à une équation du 4ème degré que l'on résoudra par une méthode d'approximation : dichotomie ou méthode de Newton.

La figure ci-dessous ne respecte pas les dimensions données et bien que d'apparence élémentaire, cette petite colle conduit à une équation du 4è degré...

Si vous séchez après avoir bien cherché... :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

Posons, pour simplifier les écritures :

On a AD = 2 et BC = 3.

Selon le théorème de Thalès, appliqué dans les triangles BAD et BCD coupés par (OO') parallèle à (AB) et à (CD), on peut écrire :

Par addition de ces deux dernières égalités, en remarquant que BO' + DO' = d et sachant que h = 1, on a donc : 1/a + 1/b = 1, soit :

ab = a + b

Mais selon le théorème de Pythagore, appliqué dans les triangles BAD et BCD, on a :

et, par différence :

 

On reporte cette valeur dans ab = a + b; on isole le radical et on élève au carré, loisible sans condition, sinon de remarquer que a doit être supérieur à 1 et inférieur à 2. On obtient l'équation :

a4 - 2a3 + 5a2 - 10a + 5 = 0, avec d2 = 4 - a2

Cette équation du 4è degré est facilement résolue par dichotomie ou par la méthode des tangentes de Newton en séparant au préalable les zéros par une méthode graphique :

Si l'on pose :

f(a) = a4 - 2a3 + 5a2 - 10a + 5,

on a :

f '(a) = 4a3 - 6a2 + 10a - 10

Les zéros de cette fonction dérivée peuvent également être étudiés graphiquement. Or :

f "(a) = 12a2 - 12a + 10

Ce trinôme de discriminant négatif n'a pas de solution : il garde le signe de 12 > 0.

Il apparaît ainsi que est strictement croissante. Étant polynomiale du 3è degré cette fonction dérivée s'annule donc en un unique point ao que l'on pourra calculer par la formule de Cardan ou approcher par encadrement dichotomique : ao 1,2.

Mais f(0) = 5 et f(1) = -1 < 0. Ce qui permet d'affirmer que le zéro cherché existe au-delà de 1,2. Le tracé ci-contre, obtenu au moyen d'un logiciel, confirme cette étude. De a 1,5761 , on déduit d 1,23 m.


© Serge Mehl - www.chronomath.com