ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Méthode dichotomique pour l'équation f(x) = 0            @ Pas de théorie, je veux utiliser le programme en ligne  |  Autres méthodes  |  Recherche dichotomique

La méthode dichotomique (du grec dikhotomia = action de partager en deux) s'applique à la recherche d'un zéro isolé s d'une fonction continue f lorsque celle-ci change de signe dans un voisinage V de s. Par isolé, on entend, que s est le seul zéro de f dans ce voisinage.

Cette méthode d'approximations successives est en application d'un théorème de Bolzano :

Si f est une fonction continue sur ]a,b[ et change de signe sur cet intervalle, alors f s'annule en (au moins) un point c de ]a,b[.

 !   On voit ici la limite de la méthode : elle ne saura pas rechercher les zéros d'ordre pair : une annulation de f sans changement de signe, comme f(x) = x³ - 2x² - 4x + 8 = (x + 2)(x - 2)², sort du champ d'application du théorème cité en introduction. On pourra, par exemple, recourir à la méthode des tangentes.

La méthode dichotomique est un algorithme simple et performant assurant le calcul de l'erreur d'approximation : pour illustrer la méthode, on se propose de résoudre l'équation :

On peut espérer au plus 15 chiffres significatifs exacts, mode de calcul usuel de JavaScript. L'application du théorème Bolzano à la fonction f(x) = sin x - x/2 et une représentation graphique, même sommaire, permet d'affirmer que la solution de notre équation, qui doit donc annuler la fonction f, est unique et comprise entre 1,5 et 2.

Étude :     

Soit f vérifiant le théorème de Bolzano cité ci-dessus et s la solution de l'équation f(x) = 0, isolé dans ]a,b[. On choisit comme première approximation de s la valeur x₁ = (a+b)/2.

• Si f(x₁) a même signe que f(a), a devient superflu et on le remplace par x₁; auquel cas x₂ = (x₁+b)/2 et [x₁,x₂] est un meilleur encadrement de s que [a,b] (c'est le cas de la figure).
   

• Sinon b devient superflu, on le remplace par x₁ et x₂ devient alors (a + x₁)/2 . En itérant le procédé, on obtient alors une suite (x_n) vérifiant : | x_n - s | < (b - a)/2ⁿ. Ce qui prouve que la suite (x_n) converge vers s.

 !   Il s'agira de bien choisir son encadrement de départ, à savoir :

 ➔    Pour tester ce programme vous devez entrer votre fonction en utilisant une syntaxe comprise par le langage JavaScript. L'instruction with (Math), placée en début de procédure, évite à l'utilisateur de préciser Math devant chaque fonction mathématique utilisée. Les opérations et fonctions usuelles sont les suivantes :

• multiplication : * ,   division : /
• racine carrée : sqrt(x)
• puissance : pow(x,n). Pour x² ou x³, utiliser plutôt x*x et x*x*x
• fonctions usuelles : sin(), cos(), tan(), atan(), abs();
• log népérien : log() , exponentielle de base e : exp() , ...
• les appellations pi (pour π) et e sont comprises par le programme.

Tant que vous cliquerez sur OK, le programme poursuivra la dichotomie. La précision maximale de JavaScript est 10^-15. Un bon compromis pourra être de pousser les calculs jusqu'à une erreur inférieure à 10^-6.

∗∗∗
Résoudre à 10^-3 près, l'équation x³ - x - 1 = 0
Rép : Une étude élémentaire permet de constater l'unique solution de cette équation entre 1 et 2 et même, plus précisément à entre 1 et 1,5. On peut aussi remarquer que l'équation donnée équivaut x³ = x + 1, donc à intersecter la cubique y = x³ avec la droite y = x + 1.
L'application de la méthode à f(x) = x³ - x - 1 sur l'intervalle [1;1.5] conduit à :

On peut donc conclure x = 1,325 à 10^-3 près. En poussant plus loin les calculs, on obtient x = 1,324717957...