ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

L'astroïde en tant qu'enveloppe d'une famille d'ellipses
   
Notion générale d'enveloppe , Recherche de l'équation de l'enveloppe | Cas d'une famille de droites

Dans un repère orthonormé (Ox,Oy), on connait bien l'ellipse définie par son équation cartésienne de la forme :

x2/a2 + y2/b2 = 1 avec a et b strictement positifs.

Soit k > 0. Fixons a + b = k. Montrer que lorsque a et b varient sous cette contrainte, l'enveloppe de la famille d'ellipses est une astroïde.

Si vous séchez après avoir bien cherché :

Néphroïde et enveloppe d'une famille de cercles


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

a + b étant fixé à la valeur k, on a b = k - a et b > 0 impose a < k, donc 0 < a < k. L'équation de notre famille d'ellipses paramétrée par a s'écrit :

x2/a2 + y2/(k - a)2 - 1 = 0, a > 0

Selon la théorie, en posant f(x,y,a) = x2/a2 + y2/(k - a)2 - 1, nous recherchons une équation paramétrique sous la forme :

x = u(a)
y = v(a)
sous les conditions : f(x,y,a) = 0 et f
'/a(x,y,a) = 0.

(1/a2)' = -2/a3 et [1/(k - a)2]' = 2/(k - a)3. Nous sommes amenés à résoudre le système :

x2/a2 + y2/(k - a)2 = 1
- x2/a3 + y2/(k - a)3 = 0

Posons X = x2, Y = y2 :

X/a2 + Y/(k - a)2 = 1
- X/a3 + Y/(k - a)3 = 0

Le déterminant D de ce système se calcule facilement :

On en déduit, sous la condition 0 < a < k :

On revient à x et y : kx2 = a3 et ky2 = (k - a)3. On prend les racines cubiques : k1/3x2/3 = a et k1/3y2/3 = k - a. En sommant, on en déduit :

x2/3 + y2/3 = k / k1/3 = k2/3

Il s'agit bien de l'équation cartésienne de l'astroïde de centre l'origine. Ci-dessous, l'enveloppe obtenue par Graphmatica lorsque k = 2, a décrivant l'intervalle ]0,2[ par pas de 0,05.

Un pas plus petit permettrait de '' s'approcher " plus des bornes ± 2 mais un trop grand nombre d'ellipses nuirait à la lecture du graphique.


© Serge Mehl - www.chronomath.com