ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Cuve
à base rectangulaire de parois
minimales TD niveau terminale
» cas à base carrée , cas cylindrique | » Recherche d'un volume maximal |
On reprend ici le problème de la cuve à base carrée ci-dessus en supposant cette fois que la base est rectangulaire de mesures x et m.
L'objectif étant de prouver qu'à volume donné et afin de minimiser l'aire totale des parois intérieures du réservoir, une base carrée est préférable : c'est à dire, avec les notations de la figure que m = x est optimal.
➔ Pour fixer les idées (et le volume...), on choisit encore V = 4 m3.
1°/ Le mètre étant l'unité de mesure, montrer, avec les notations de la figure, que l'aire totale des parois intérieures s'exprime en fonction de x et m par :
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2°/ Calculer S'(x). Étudier les variations de S pour m donné en montrant que S'(x) est du signe de signe de mx 2 - 8.
3°/ Montrer que S passe par un unique extremum f(m) qui est un minimum absolu de valeur :
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4°/ a.
Étudier alors la fonction
m→ f(m)
et montrer que f passe par un minimum pour m = 2.
» f
'(m) = 2√2/
√m
- 8/m2 est du signe de m√m
- 2√2.
b. Que vaut alors x ? Conclure.
Reprise de cet exercice au moyen d'une fonction de deux variables : ››››
