ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cuve à base rectangulaire de parois minimales       TD niveau terminale      
        
volume maximal ,  cuves cylindriques

On reprend ici le problème de la cuve à base carrée ci-dessus en supposant cette fois que la base est rectangulaire de mesures x et m.

L'objectif étant de prouver qu'à volume donné et afin de minimiser l'aire totale des parois intérieures du réservoir, une base carrée est préférable : c'est à dire, avec les notations de la figure que m = x est optimal.

 Pour fixer les idées (et le volume...), on choisit encore V = 4 m3.

1°/ Le mètre étant l'unité de mesure, montrer, avec les notations de la figure, que l'aire totale des parois intérieures s'exprime en fonction de x et m par :

 

2°/ Calculer S'(x). Étudier les variations de S pour m donné en montrant que S'(x) est du signe de signe de mx 2 - 8.

3°/ Montrer que S passe par un unique extremum f(m) qui est un minimum absolu de valeur :

4°/ a. Étudier alors la fonction mf(m) et montrer que f passe par un minimum pour m = 2.   
         f '(m) = 22/ m - 8/m2 est du signe de mm - 22.
     b. Que vaut alors x ? Conclure.


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