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Théorème de Varignon & autres aires...  
     
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Rappelons tout d'abord ce résultat bien connu dès la classe de 4ème des collèges, propriété de la célèbre droite des milieux dans un triangle que l'on peut considérer comme application immédiate de la propriété de Thalès :

Propriété :      

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.

Selon le codage de la figure ci-dessus : AK/AC = AJ/AB =1/2.

Conséquence de ce résultat :    

Si un segment joint les milieux de deux côtés d'un triangle, alors il est parallèle au troisième côté et sa longueur est la moitié de ce troisième côté.

Inversement :       

Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un second côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Pour en savoir plus sur la droite des milieux :

Le théorème de Varignon peut s'exprimer ainsi :

Si l'on joint les milieux d'un quadrilatère quelconque ABCD, on obtient un parallélogramme XYZT
et son aire est la moitié de celle du quadrilatère
.


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Vous pouvez déformer le quadrilatère ABCD en déplaçant ses sommets
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

  La première partie de ce résultat est bien évidente en utilisant la propriété de la droite des milieux dans un triangle. Pourriez-vous démontrer la seconde ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :


Variante (plus simple) :    

L'aire jaune est le 1/4 de l'aire du parallélogramme :


Variante (plus difficile) :    

L'aire jaune est le 1/5 de l'aire du parallélogramme :



Prolongement de la 1ère partie du théorème de Varignon... :   


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Vous pouvez déformer le quadrilatère...
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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Traçons les diagonales du quadrilatère ABCD. Elles se coupent en J. Notons J' et J" les symétriques respectifs de J par rapport aux milieux de [AB] et [BC].

Les quadrilatères AJBJ" et BJCJ' sont alors des parallélogrammes. Il en est de même des quadrilatères jaune et vert colorés (côtés opposés parallèles en vertu de la droite des milieux dans un triangle).

 

Selon la réciproque de ce même théorème, U est le milieu de [AJ] et V est celui de [JB].

Ainsi, dans la symétrie de centre X, U et U' d'une part, V et V' d'autre part se correspondent. L'aire jaune apparaît ainsi comme le 1/4 de l'aire de AJBJ", donc comme la moitié de ABJ.

Un raisonnement analogue avec le quadrilatère vert amène à : l'aire de UXYW est la moitié de celle de ABC. De même, l'aire de UTZW sera la moitié de celle de ADC. D'où le théorème de Varignon.


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