ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Sections cycliques & ombilics de l'ellipsoïde      » Conjecture de Carathéodory

Il s'agit de rechercher les sections planes circulaires d'un ellipsoïde et d'en déduire ses ombilics. Rappelons que l'ellipsoïde est une quadrique (surface du second degré) dont l'équation cartésienne peut se mettre sous la forme :

On se place dans le cas général, c'est à dire a, b et c distincts deux à deux et on suppose a > b > c. Cette surface n'est pas un ellipsoïde de révolution (cas b = c) : on a ici :

 OA = a , OB = b , OC = c avec donc OA > OB > OC

Ci-dessous, la perspective laisse penser OB < OC mais il n'en est rien. Toute autre impression serait non fondée, purement subjective et n'altérerait en rien le raisonnement qui suit...

L'intersection, non réduite à un point, d'un plan et d'une surface algébrique du second degré est une courbe algébrique plane du second degré : c'est donc une ellipse ou un cercle (puisque le contour est fermé).

On admettra ou l'on montrera facilement que deux plans parallèles fournissent des sections homothétiques, c'est à dire des ellipses qui, sous forme réduite, ont des petits et grands axes dans le même rapport. On peut alors se contenter de rechercher les sections cycliques (qui sont des cercles) pour des plans passant par l'origine et ramener le problème à l'intersection de l'ellipsoïde avec la sphère centrée à l'origine, de rayon R, d'équation

x² + y² + z² = R²

Un équateur de la sphère cherchée passe par un des axes de coordonnées en coupant l'ellipsoïde suivant un cercle.

Vu notre condition a > b > c, cet axe ne peut être que Oy et l'existence de deux tels équateurs, donc de deux plans fournissant effectivement un cercle est assurée. Ils sont symétriques par rapport au plan yOz. On obtient l'un d'eux, noté ci-dessus (P), par rotation du plan yOz tant que c < OC' < b; lorsque OC' = b, la section est un cercle (c).

Les équations des sections cycliques passant par O sont données par le système :

Par différence, on obtient celles de (P) et de son symétrique par rapport à yOz :

Tout autre plan (P') parallèle à (P) coupera l'ellipsoïde suivant un cercle (c'). Lorsque le plan est tangent à l'ellipsoïde, on obtient un ombilic (cercle limite). Il y a par conséquent, et par symétrie, quatre ombilics sur l'ellipsoïde, deux à deux symétriques par rapport aux plans xOy et yOz, plans principaux de notre surface.

L'équation de (P) et de son symétrique par rapport à yOz est facile à déterminer. Remarquer enfin que sur une sphère (a = b = c), tout point est un ombilic.

Exemple :    

Supposons l'ellipsoïde défini dans un repère orthonormé (O,i,j,k) de l'espace par : x²/9 + y²/4 + z² = 1   (a = 3, b = 2 et c = 1). Le plan équateur (P) défini ci-dessus aura pour équation : x√5 + 3√3z = 0 et son symétrique/yOz aura pour équation x√5 - 3√3z = 0.

Les équations des sections cycliques définies par ces plans sont données par : 5x² = 27z²   et  5y² + 32z² = 20. Plaçons-nous dans (P) en choisissant comme le repère orthonormé (O,I,J) en choisissant :

I = j  et  J = (3√3 / √32).i - (√5 / √32).k.

Pour tout point M de l'espace, on a alors :

x = (3√3 / √32)Y , y = X et z = - (√5 / √32)Y

En reportant dans 5y² + 32z² = 20, on obtient X² + Y² = 4 : nous avons bien un cercle de centre O, de rayon b = 2. Noter que l'équation définissant notre cercle 5x² = 27z² est bien sûr vérifiée puisque nous nous sommes placés dans (P).