ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Triangle de Napoléon         niveau 1èreS/TerS            » Théorème de van Aubel

• Tracer un triangle quelconque ABC;

• Extérieurement au triangle ABC, construire les triangles équilatéraux MAB, NAC et PBC;

• Placer maintenant les centres D, E et F de ces triangles
  » Ce triangles étant équilatéraux, ce sont les points de concours de leurs médianes, de leurs hauteurs et de leurs médiatrices.

La question :    

Prouver que le triangle DEF est équilatéral

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Vous pouvez déformer le triangle ABC en déplaçant les points A, B et C

Étude :   

Pour un bon usage des rotations, orientons le plan dans le sens trigonométrique usuel.

♦  Le centre D du triangle équilatéral AMB, de côté AB = c est situé sur la médiatrice de [MB]. Les médiatrices se coupent aux 2/3 de leur pied. Un petit calcul niveau 4è conduit à AB = AD√3. On a de plus ^(AD,AB) = +30°. On note D₁ l'image de D dans la rotation de centre A, d'angle 30°. On a de même F, centre du triangle équilatéral ANC de côté AC = b, situé sur la médiatrice de [AN] et AC = AN = AF√3 et ^(AF,AN) = 30°. On note F₁ l'image de F dans la rotation précédente (de centre A, d'angle +30°).

• On a ainsi DF = D₁F₁ et AB/AD = AB/AD₁ = AN/AF = AN/AF₁. Donc (D₁F₁) // (BN) et BN = D₁F₁√3.

♦  On considère maintenant le sommet C du triangle ABC. Par un raisonnement strictement analogue, on est amené à considérer la rotation de centre C, d'angle -30° amenant E en E1 et F en F2, conduisant à :

• EF = E₁F₂ et CB/CE = CB/CE₁ = CN/CF = CN/CF₂. Donc (E₁F₂) // (BN) et BN = E₁F₂√3.

♦  Par conséquent BN = D₁F₁√3 = E₁F₂√3 : c'est dire que D₁F₁ = E₁F₂, donc que DF = EF : le triangle DEF est isocèle de sommet principal F.

♦  ^(FD,FE) = ^(FD,F₁D₁) + ^(F₁D₁,F₂E₁) + ^(F₂E₁,FE) = +30° + 0° - ^(FE,F₂E₁) = +30° - (-30°) = 60°

En conclusion :

Le triangle DFE, isocèle de sommet principal F, d'angle au sommet mesurant 60°, est équilatéral

Remarque :   

Sans passer par la mesure de l'angle au sommet, on pouvait, au moyen d'un raisonnement strictement analogue fondé sur les sommets B et A, prouver que DE = DF. Et par transitivité :  DE = DF = EF.

 ➔   Autres preuves :

• Géométrie de l'espace et du plan, par Yvonne et René Sortais : Éd. Hermann, Paris - 1988.

• Redécouvrons la géométrie, par H.S.M. Coxeter et S. L. Greitzer

• Au moyen des nombres complexes et des racines cubiques de l'unité sur Wikipedia :
  https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Napoléon