ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Triangle de Napoléon         niveau 1èreS/TerS            Théorème de van Aubel

La question :    

Prouver que le triangle DEF est équilatéral


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Vous pouvez déformer le triangle ABC en déplaçant les points A, B et C

Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java


 

Étude :   

Pour un bon usage des rotations, orientons le plan dans le sens trigonométrique usuel.

  Le centre D du triangle équilatéral AMB, de côté AB = c est situé sur la médiatrice de [MB]. Les médiatrices se coupent aux 2/3 de leur pied. Un petit calcul niveau 4è conduit à AB = AD√3. On a de plus ^(AD,AB) = +30°. On note D1 l'image de D dans la rotation de centre A, d'angle 30°. On a de même F, centre du triangle équilatéral ANC de côté AC = b, situé sur la médiatrice de [AN] et AC = AN = AF√3 et ^(AF,AN) = 30°. On note F1 l'image de F dans la rotation précédente (de centre A, d'angle +30°).

  On considère maintenant le sommet C du triangle ABC. Par un raisonnement strictement analogue, on est amené à considérer la rotation de centre C, d'angle -30° amenant E en E1 et F en F2, conduisant à :

  Par conséquent BN = D1F1√3 = E1F2√3 : c'est dire que D1F1 = E1F2, donc que DF = EF : le triangle DEF est isocèle de sommet principal F.

  ^(FD,FE) = ^(FD,F1D1) + ^(F1D1,F2E1) + ^(F2E1,FE) = +30° + 0° - ^(FE,F2E1) = +30° - (-30°) = 60°

En conclusion :

Le triangle DFE, isocèle de sommet principal F, d'angle au sommet mesurant 60°, est équilatéral

Remarque :   

Sans passer par la mesure de l'angle au sommet, on pouvait, au moyen d'un raisonnement strictement analogue fondé sur les sommets B et A, prouver que DE = DF. Et par transitivité :  DE = DF = EF.


  Autres preuves :


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