ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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La pompe et le ruisseau       solution analytique    TD - 1èreS          » solution géométrique

Un canal d'irrigation passe à proximité d'une ferme possédant deux bassins qu'il s'agit de remplir par une pompe électrique. Pour une usure moindre des membranes de la pompe, on prévoit l'installation de la pompe P au bord du canal. L'eau sera refoulée de sorte que la longueur des tuyaux utilisés (adduction linéaire) soit minimale.

Où devra être placée la pompe ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :  ››››
 

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• On note B₁ et B₂ les réservoirs (B₁ est à 400 m du canal);

• H et K les projections orthogonales de B₁ et B₂ sur la rive. On prend (H,u,v) comme repère orthonormé, u étant orienté vers K et v vers B₁. L'unité est 100 m. On note x l'abscisse de la pompe.

a) Justifier que la solution optimale n'est pas extérieure au segment [HK] et donc que x∈[0,3].

b) On note D(x) la longueur des tuyaux à utiliser, montrer :

c) Prouver que D'(x), nombre dérivé de D au point x est du signe de -x² + 8x - 12.

d) Donner le tableau de variation de D sur [0,3]; en déduire que la solution optimale est obtenue pour x = 2 : la pompe doit donc être placée entre H et K à 200 m de H. Il faudra alors environ 671 m de tuyaux.

l'axe des abscisses a été remonté pour gagner un peu de place !

 ➔  Noter que ce petit problème est en étroite relation avec le principe de Fermat : si un rayon lumineux partant de B1 doit frapper le canal, assimilé à un miroir, pour être réfléchi en B2, le chemin optique sera minimal. La solution géométrique de ce problème est encore plus probante.