ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La pompe et le ruisseau       solution analytique    TD - 1èreS            solution géométrique

Un canal d'irrigation passe à proximité d'une ferme possédant deux bassins qu'il s'agit de remplir par une pompe électrique. Pour une usure moindre des membranes de la pompe, on prévoit l'installation de la pompe P au bord du canal. L'eau sera refoulée de sorte que la longueur des tuyaux utilisés (adduction linéaire) soit minimale.

Où devra être placée la pompe ?

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indications & réponse :

a) Justifier que la solution optimale n'est pas extérieure au segment [HK] et donc que x[0,3].

b) On note D(x) la longueur des tuyaux à utiliser, montrer :

c) Prouver que D'(x), nombre dérivé de D au point x est du signe de -x2 + 8x - 12.

d) Donner le tableau de variation de D sur [0,3]; en déduire que la solution optimale est obtenue pour x = 2 : la pompe doit donc être placée entre H et K à 200 m de H. Il faudra alors environ 671 m de tuyaux.



l'axe des abscisses a été remonté pour gagner un peu de place !

Noter que ce petit problème est en étroite relation avec le principe de Fermat : si un rayon lumineux partant de B1 doit frapper le canal, assimilé à un miroir, pour être réfléchi en B2, le chemin optique sera minimal. La solution géométrique de ce problème est encore plus probante.

Miroirs et principe de Fermat :        


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