ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul des éléments caractéristiques d'une ellipse   niveau Ter       » cas de la parabole , cas de l'hyperbole

La  calculatrice est ici souhaitée, voire indispensable.

Contrairement à la plupart des exemples qui « tombent juste», cet exercice engendre des calculs où il est nécessaire d'utiliser la calculatrice et des arrondis. Au collège et au lycée, en dehors de la trigonométrie, la calculatrice est sous-utilisée.

Il faut pourtant s'habituer à des calculs demandant un minimum de technicité. Dans les sciences, rarissimes sont les cas où l'ingénieur trouvera 3/4 comme solution de son équation et tout aussi rarissimes seront des équations comme 3x² - 4x - 7 = 0 à coefficients entiers et ayant, de surcroit, une racine évidente (-1). Les calculatrices de poche, dites scientifiques, sont en usage depuis la fin des années 1960. On voit pourtant encore des élèves de 1ère scientifique dans l'incapacité de calculer en une fois (sans calculs intermédiaires) quelque chose comme :

    
☼  cliquer sur la formule si vous pensez avoir la bonne réponse  ☼

Vous pouvez contempler ci-dessous une ellipse (non, non, ce n'est pas un cercle déformé par votre écran) dont l'équation réduite est de la forme

x²/a² + y²/b² = 1

Au vu des seules indications numériques fournies sur le graphique, on demande de calculer :

• a et b;   le fait que a semble égal à 6,5 n'est peut-être que le fruit de votre imprécision...

• c, abscisse du foyer F;

• e, excentricité;

• les équations des directrices;

• son paramètre p;

• l'équation de la tangente en M sachant que son abscisse est -4 (on arrondira son ordonnée à 0,01 près).

 ➔  Toutes les valeurs trouvées seront arrondies au 1/100è (et utilisées après arrondi, le cas échéant).

  Si vous séchez après avoir bien cherché... :  ››››

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

• a et b : On a MF + MF' = 2a, donc 13 = 2a : a = 6,5. Ce que semble confirmer le graphique. La courbe passe par A(5,4), donc 25/a² + 16/b² = 1. En remplaçant a par sa valeur et en remarquant que a = 5 × 1,3 il vient b = 5,2/√0,69 = 6,26 à 0,01 près.

x²/6,5² + y²/6,26² = 1

» a et b ont des valeurs proches, ce qui explique l'aspect circulaire de notre ellipse. On doit donc s'attendre à une excentricité faible, des foyers relativement proches de l'origine et des directrices "plutôt" éloignées. Un cercle peut être considéré comme une ellipse dont les foyers "tendent" vers son centre : c tend vers 0, b tend vers a (puisque c² = a² - b²) et les directrices s'éloignent à l'infini (puisque x = ± a²/c).

• c, abscisse du foyer F : c² = a² - b² fournit c = 1,75 à 0,01 près.

• e, excentricité : e = c/a = 0,27 à 0,01 près.

• les équations des directrices : x = ± a²/c =24,14 à 0,01 près : on pouvait s'attendre à ce nombre relativement grand.

• son paramètre p : c'est la demi-corde passant par F, donc ici l'ordonnée y du point M de l'hyperbole d'abscisse 1,75

. On effectue le calcul au moyen de la calculatrice :

(1 - 1,75² ÷ 6,5²) × 6,26² et on prend la racine carrée du résultat : √Ans.

D'où p =  6,03 à 0,01 près.

• l'équation de la tangente en M sachant que son abscisse est -4 : l'équation en M(x_o,y_o) est xx_o/a² + yy_o/b² = 1 (» tangente aux coniques). En x_o = - 4, le calcul de y_o conduit à 4,93. On obtient alors :

y = (1 - 4x/6,5²) × 6,26²/4,93, soit à 0,01 près : y = -0,75x + 7,95

 ➔   Le graphique semble bien confirmer ces calculs :

La tangente en M coupe l'axe des ordonnées en B. Son ordonnée est l'ordonnée à l'origine de la tangente, soit 7,95. La tangente en M coupe l'axe des abscisses en C d'ordonnée nulle qui doit correspondre à l'équation -0,75x + 7,95 = 0, soit x = -7,95/0,75 = 10,6 : ce que confirme le graphique.