ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul des éléments caractéristiques d'une parabole   niveau Ter       » cas de l'ellipse , cas de l'hyperbole

Vous pouvez contempler ci-dessous une très belle parabole dont l'équation réduite est de la forme

y² = a(x - b)

Au vu des indications fournies sur le graphique, on demande de calculer :

• a et b;

• les coordonnées de son sommet S;

• son équation réduite;

• son paramètre p;

• les coordonnées du foyer F;

• l'équation de sa directrice (d);

• l'équation de la tangente en M sachant que son abscisse est 4.

• a et b : la courbe passe par A(0;√2), donc 2 = -ab et par M(7/2;4), donc 16 = a(7/2 -b). Remplaçons b par -2/a dans cette seconde équation : 16 = a(7/2 + 2/a). Ceci conduit à a = 4, d'où b = -1/2. L'équation de la parabole est alors :

y² = 4(x + ½)

• les coordonnées de son sommet S : l'axe de la parabole est (Ox). Son sommet est d'ordonnée nulle, d'où son abscisse x = -1/2. On conclut S(-½,0).

• son équation réduite : c'est l'équation rapportée au sommet S. On pose donc X = x - x_S = x + ½ et Y = y - y_S = y. D'où :

Y² = 4X

• son paramètre p : dans l'équation réduite ou de la forme y2 = ax² + bx + c, c'est la moitié du coefficient de x2. Donc p = 2. Il correspond à la demi-corde de la parabole passant par le foyer : c'est donc aussi l'ordonnée positive du point de la parabole dont l'abscisse est celle du foyer.

• Coordonnées du foyer F :
  L'axe de la parabole étant (Ox), l'ordonnée du foyer est nulle et d'après ce qui vient d'être dit, on a 4 = 4(x_F + ½). Donc F(½;0).
  On peut aussi utiliser le résultat selon lequel dans l'équation réduite Y² = 2pX = 4X, l'abscisse du foyer est p/2 : donc X_F = 1 et comme X = x + ½, on retrouve x_F = ½.

• Équation de sa directrice (d) :
  L'axe de la parabole étant (Ox), son équation est de la forme x = k et dans le repère d'origine S, son abscisse est - p/2 = -1.
  On en déduit x = - 3/2 : cela correspond à l'abscisse de K sur le graphique.

• Équation de la tangente en M  (» tangente aux coniques) :
  L'équation en M(X_o,Y_o) par rapport à l'équation réduite est YY_o = p(X + X_o). On a ici Xo = xo + ½ = 4 et Yo = yo = 4, d'où 4Y = 2(X + 4), soit Y = ½x + 2, ce qui fournit y = ½(x + ½) + 2. Finalement y = ½x + 9/4. Ce que confirme le graphique : la tangente coupe l'axe des ordonnées en 9/4 = 2,25 et l'axe des abscisses en x tel que ½x + 9/4 = 0, soit en x = - 9/2.