ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Cuve de parois minimales à base circulaire #1     niveau 1ère/Ter           » variante avec couvercle

On reprend ici un exercice semblable à celui présenté en cuve maximale rectangulaire, avec cette fois une forme cylindrique :

On désire fabriquer un réservoir métallique à ciel ouvert, cylindrique (droit) de contenance 4 m³.

Pour des raisons d'étanchéité, les surfaces intérieures seront traitées; ce traitement coûte cher. Il s'agit alors de calculer les dimensions optimales afin que le coût du traitement soit minimal.

a/ Le mètre étant l'unité de mesure, calculer, avec les notations de la figure ci-contre, le volume de la cuve en fonction de R et h. En déduire h en fonction de R.

b/ Il s'agit de minimiser, pour le volume donné, les surfaces latérales. Montrer que l'aire totale S des surfaces intérieures est une fonction de R :

c/ Déduire des résultats précédents les cotes optimales R et h.

• On a V = πR²h,  donc h = 4/(πR²)
• S = 2πRh + πR² = πR² + 8/R. Étudier les variations de S pour R > 0.
  Rappel : a³ - b³ est du signe de a - b.

• Les cotes optimales sont obtenues pour :

et comme R²h = 4/π , nous avons h = R.

• L'aire totale intérieure est alors 11 m² environ.