ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Une applications du théorème d'Al-Kashi     niveau TerS
   
(théorème de Pythagore généralisé)        résolution de triangles | croisement aérien

La figure animée ci-dessous représente un système "bielle-manivelle". Le rayon OM est noté r et la bielle MP égale 3r. Lorsque la roue tourne (ce qui revient à déplacer M sur le cercle), le point P va et vient sur l'axe Ox.

1°) Quelles sont, au vu du mécanisme, les plus petite et plus grande valeur de OP ?

2°) Exprimer l'abscisse positive x = OP du point P en fonction de l'angle θ = ^MOP. En déduire les variations de x en fonction de θ. représenter ces variations.


Déplacer le point M sur le cercle fera fonctionner la bielle

Si vous séchez après avoir bien cherché :
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution

1°) On a MP = 3r, le rayon vaut r, donc le diamètre 2r. Les valeurs extrêmes de x = OP sont obtenues lorsque M est sur l'axe (OP) : par conséquent x[2r,4r].

2°) Dans le triangle MOP, on a, selon le théorème d'Al-Kashi :

PM2 = OM2 + OP2 - 2OM.OP.cosθ

soit :

9r2 = r2 + x2 - 2rx.cosθ

Ce qui fournit l'équation du second degré en x :

x2 - 2rxcosθ - 8r2 = 0

On en tire la solution positive :

x est une fonction 2π-périodique, paire, continue et dérivable de la variable θ. Afin de "profiter" de la parité, on étudie x sur l'intervalle [0,π] et on complètera par symétrie. On a :

Sur l'intervalle d'étude, x' garde le signe de la parenthèse. Sur [π/2,π], cosθ 0, donc x' est négatif et nul en π. Sur [0,π/2], cosθ 0, la parenthèse garde donc le signe de cos2θ + 8 - cos2θ = 8 > 0 : x' est négatif et nul en 0.  La fonction x = OP est donc strictement décroissante sur [0,π] et strictement croissante (par parité) sur [-π,0].

Rappel : a - b est du signe de a - b et plus généralement si f est croissante : f(a) - f(b) est du signe de a - b.

x(0) = 4r, x(± π/2) = r8, x(± π) = 2r


La courbe est ici obtenue avec r = 1


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