ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Une applications du théorème d'Al-Kashi
niveau TerS(théorème de Pythagore généralisé) » résolution de triangles | croisement aérien |
 |
La figure animée ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet : elle représente un système "bielle-manivelle".
Le rayon OM est noté r et la bielle MP mesure 3r.
Lorsque la roue tourne (ce qui revient à déplacer M sur le cercle), le point P va et vient sur l'axe Ox.
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Java
(»
extension CheerpJ
)
:
Déplacer le point M sur le cercle fera
fonctionner la bielle
1°) Quelles sont, au vu du mécanisme, les plus petite et plus grande valeur de OP ?
2°) Exprimer l'abscisse positive x = OP du point P en fonction de l'angle θ = ^MOP. En déduire les variations de x en fonction de θ. représenter ces variations.
| Solution |
1°) On a MP = 3r, le rayon vaut r, donc le diamètre 2r. Les valeurs extrêmes de x = OP sont obtenues lorsque M est sur l'axe (OP) : par conséquent x∈[2r,4r].
2°) Dans le triangle MOP, on a, selon le théorème d'Al-Kashi :
PM2 = OM2 + OP2 - 2OM.OP.cosθ
soit :
9r2 = r2 + x2 - 2rx.cosθ
Ce qui fournit l'équation du second degré en x :
x2 - 2rxcosθ - 8r2 = 0
On en tire la solution positive :
x est une fonction 2π-périodique, paire, continue et dérivable de la variable θ. Afin de "profiter" de la parité, on étudie x sur l'intervalle [0,π] et on complètera par symétrie. On a :
➔ Sur l'intervalle d'étude, x' garde le signe de la parenthèse. Sur [π/2,π], cosθ ≤ 0, donc x' est négatif et nul en π. Sur [0,π/2], cosθ ≥ 0, la parenthèse garde donc le signe de cos2θ + 8 - cos2θ = 8 > 0 : x' est négatif et nul en 0. La fonction x = OP est donc strictement décroissante sur [0,π] et strictement croissante (par parité) sur [-π,0].
Rappel : √a - √b est du signe de a - b et plus généralement si f est croissante : f(a) - f(b) est du signe de a - b.
x(0) = 4r, x(± π/2) = r√8, x(± π) = 2r
La courbe est ici obtenue avec r = 1