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Loi de Mariotte :  une approche de la fonction homographique

La loi de Mariotte (abbé et physicien français, 1620? ­ 1684), s'exprime ainsi :

Pour une masse donnée de gaz et à température constante, le produit P x V de la pression de ce gaz par son volume est constant.

Les gaz suivent approximativement cette loi : elle n'est exacte que pour les gaz parfaits, c'est à dire dont les interactions moléculaires sont nulles. La température doit rester constante. Si on exerce une pression sur un gaz, il s'échauffe; la loi de Gay-Lussac (chimiste et physicien français, 1778 ­ 1850) exprime alors que les variations de volume sont proportionnelles aux variations de température et la loi de Chasles (encore lui !) exprime qu'il en est de même des variations de pression.

La pression s'interprète comme une force s'exerçant par unité de surface; son unité est le pascal (1 Pa=1 N/m2 : newton par mètre carré ) ou le bar (105 Pa ). La pression atmosphérique, au niveau de la mer et à 15°C, est en moyenne de 1033 millibars correspondant à 760 mm de mercure.

Une étude expérimentale, au moyen d'un gaz enfermé dans un cylindre dont le volume est variable grâce à un piston, a permis, par le biais d'un manomètre, d'établir la pression en fonction du volume :

V 17,5 18,5 20 21,5  23,5  26 27  28,5 31,5 
P  112,8  103,1  102,6  89,9  84,1 78,9  73,2 67 66,2

1/ En admettant que la loi de Mariotte s'applique, quelle est la nature de la fonction qui, au volume, associe la pression ?

2/ Représenter le nuage des points M(V,P) en prenant :

3/ Calculer la moyenne des produits P x V expérimentaux. Donner l'équation de la courbe V P(V). Représenter cette courbe dans le même repère que le nuage. Conclusion ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

 1/ La fonction doit avoir une équation est de la forme :

Vk/V

  C'est un cas particulier de fonction homographique, terme utilisé par Chasles. La courbe obtenue est un arc d'hyperbole équilatère.

2/ La moyenne arithmétique des produits P x V est sensiblement k = 1985. On peut donc écrire : VP(V) = 1985/V.

 On remarque le très bon ajustement de la courbe calculée avec le nuage de points observés. La loi de Mariotte se trouve ici confirmée.


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