ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Spirale "conique"        Courbes gauches : généralités

On considère l'hélice circulaire (H) d'équation :

Elle s'enroule donc sur le cylindre de révolution d'axe (Oz), de base le disque de centre O de rayon r.

Soit (C) le cône de révolution de sommet O, de hauteur h inscrit dans le cylindre. Pour tout point P de (H), on note K sa projection orthogonale sur l'axe (Oz) et on appelle M le point d'intersection de [PK] avec le cône (C).

Quel est l'ensemble des points M ?

Réponse :          

Une simple application du théorème de Thalès conduit à la solution :

  Ci-dessus, le projet (en bois) de tour hélicoïdale imaginée par le peintre et sculpteur russe Vladimir Tatline (1885-1953) à la gloire de la IIIè Internationale. Sa hauteur aurait dépassée celle de la tour Eiffel ! image empruntée sur le site http://www.auburn.edu/academic/liberal_arts/foreign/russian/art/tatlin-tower.html.

on remarquera que la projection sur le plan des XY de cette spirale n'est autre qu'une spirale d'Archimède, dont l'équation polaire r = a x t fournit en représentation paramétrique :

Le paramètre a représente ici r/h.

Minaret de la mosquée « Al-Malwiyah » (Samarra, Irak) mot à mot : « La torsadée  »
http://bagdad.ifrance.com/pages/pays/album/album20.html

Vladimir Tatline (1885-1953), projet d'un monument célébrant la 3è Internationale (1919)
Voir aussi  http://www.flickr.com/photos/dalbera/494623165/l