ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Spirale "conique"        Courbes gauches : généralités

On considère l'hélice circulaire (H) d'équation :

x = rcos t , y = rsin t , z = t , t > 0

Elle s'enroule donc sur le cylindre de révolution d'axe (Oz), de base le disque de centre O de rayon r. Soit (C) le cône de révolution de sommet O, de hauteur h inscrit dans le cylindre.

          

Pour tout point P de (H), on note K sa projection orthogonale sur l'axe (Oz) et on appelle M le point d'intersection de [PK] avec le cône (C). Quel est l'ensemble des points M ?

Une simple application du théorème de Thalès conduit à la solution :

  Ci-dessus, à droite, le projet (en bois) d'une tour hélicoïdale imaginée par le peintre et sculpteur russe Vladimir Tatline (1885-1953) à la gloire de la IIIè Internationale. Sa hauteur aurait dépassée celle de la tour Eiffel ! image empruntée sur le site de l'université d'Auburn (Alabama, USA),  page de George Mitrevski.

L'hélice circulaire et la spirale conique en choisissant respectivement r = 1, h = 40 et r/h = 1 :

=  Animations générées par wims  =

on remarquera que la projection sur le plan des XY de cette spirale n'est autre qu'une spirale d'Archimède, dont l'équation polaire r = a x t fournit en représentation paramétrique :

x = at x cos t , y = at x sin t

Le paramètre a représente ici r/h.


Minaret de la mosquée « Al-Malwiyah » (Samarra, Irak) mot à mot : « La torsadée  », 9è siècle


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