ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Serpentine (anguinea)        » génération géométrique | Voir l'animation

Ce type de courbe algébrique (cubique) fut étudié par le marquis de l'Hospital et Huygens. Son nom latin (anguis = serpent) est dû à Newton quelques années plus tard (1701) qui la classa dans son Enumeratio linearum tertii ordinis (classification des courbes du 3ème ordre). Son équation cartésienne est de la forme :

,  a > 0 , b > 0

Ci-dessus : a = 2, b = 3
 

Sous une pierre le 8 avril 2006 - Seine & Marne - France. Photographiée et rendue à la liberté !

On peut générer géométriquement la restriction à R⁺ de la façon suivante : dans un repère orthonormé d'origine O, traçons le cercle (c) de centre C(a,0); soit B(0,b) avec 0 < b < a et P un point du cercle d'ordonnée positive. La parallèle à (Ox) passant par B coupe [OP) en D. Les parallèles à (Ox) passant par P et à (Oy) passant par D se coupent en M.

Lorsque P décrit le demi-cercle (OPA), M décrit la demi-anguinea.

En posant M(x,y), t = ^AOP, on a ^ACP = 2t et P(a + a.cos2t, asin2t); l'ordonnée y de M est celle de P. On obtient facilement x = b.cotan t (avec cotan = 1/tan cotangente) en remarquant que x/x_P = Om/Op = Dm/Pp = b/y. On a ainsi une équation paramétrique de l'anguinea :

x = b.cotan t , y = asin2t

L'égalité x = b.cotan t conduit à : xsin²t = b²cos²t. Dans le 1er membre, on remplace sin²t par 1 -  cos²t, on obtient alors :

cos²t x (x² + b²) = x²

La relation x/x_P = b/y peut s'écrire : xy = bx_P, soit xy = 2abcos²t. On peut ainsi éliminer cos²t, ce qui fournit :

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Déplacer P (pas "trop" vite); pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure