Construction d'un
carré
au compas seul
» Milieu d'un segment au compas seul , une construction à la règle seule |
♦ La construction, au seul compas, de l'hexagone régulier est bien connue de tous dès l'école primaire. Il suit que celle du triangle équilatéral est également triviale, par le seul même moyen :
Mohr et les constructions au compas seul : »
♦ Celle du carré (c'est à dire ici celle de ses sommets) est moins simple : cherchons à inscrire un carré dans un cercle : ses diagonales doivent être perpendiculaires et cette propriété le caractérise. Et vu que 60 + 30 = 90, voilà une construction relativement simple :
Programme de construction : |
Tracer un cercle (c) de centre O;
Construire un hexagone régulier (ses sommets) dans (c) dont on appellera A et C deux sommets diamétralement opposés;
Les cercles de centres A (resp. C) passant par un sommet consécutif à C (resp. A) se coupent en E et F.
Avec le compas d'écartement OF (ou OE), tracer le cercle de centre A; il coupe le cercle (c) en B et D.
ABCD est un carré.
Preuve :
Il est clair que (EF) contient O et par suite que ^AOF = 90°. On a AB = OF. Soit r le rayon du cercle. L'usage du théorème de Pythagore montre aisément que OF = r√2 car AF = r√3, côté du triangle équilatéral inscrit et r√2 est bien la mesure du côté du carré inscrit.
Noter que la construction d'un rectangle au seul compas peut être ainsi obtenue : |
Le quadrilatère ABCD obtenu est un rectangle.
➔ Pour en savoir plus :
Concernant la constructibilité à la règle
et au compas, consulter le livre de Jean-Claude
Carrega :
Théorie des corps,
la règle et le compas
-
Hermann, 1989